（10分）如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．
【专题】15：综合题； 5 M ：推理和证明．
【分析】（ I ）利用四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，可得 $\angle D=\angle C B E$ ，由 $C B=C E$ ，可得 $\angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{CBE}$ ，即可证明：$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ ；
（II）设 $B C$ 的中点为 $N$ ，连接 $M N$ ，证明 $A D \| B C$ ，可得 $\angle A=\angle C B E$ ，进而可得 $\angle A=\angle E$ ，即可证明 $\triangle A D E$ 为等边三角形。

【解答】证明：（ I ）∵ 四边形 ABCD 是 $\odot \mathrm{O}$ 的内接四边形，
$\therefore \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{CBE}$ ，
$\because C B=C E$,
$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{CBE}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ ；
（II）设 $B C$ 的中点为 $N$ ，连接 $M N$ ，则由 $M B=M C$ 知 $M N \perp B C$ ，
$\therefore \mathrm{O}$ 在直线 MN 上，
$\because A D$ 不是 $\odot O$ 的直径，$A D$ 的中点为 $M$ ，
$\therefore \mathrm{OM} \perp \mathrm{AD}$ ，
$\therefore A D \| B C$ ，

$\therefore \angle A=\angle C B E$ ，
$\because \angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{E}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{E}$ ，
由（I）知，$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{ADE}$ 为等边三角形。

【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。