2020_江苏卷 (2020)
22．在极坐标系中，已知点 $A\left(\rho_{1}, \frac{\pi}{3}\right)$ 在直线 $l: \rho \cos \theta=2$ 上，点 $B\left(\rho_{2}, \frac{\pi}{6}\right)$ 在圆 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上（其中 $\rho \geq 0, \quad 0 \leq \theta<2 \pi)$.
（1）求 $\rho_{1}, \rho_{2}$ 的值
（2）求出直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的极坐标．
## C．［选修4－5：不等式选讲］
【解答】
在极坐标系中，已知点 $A\left(\rho_{1}, \frac{\pi}{3}\right)$ 在直线 $l: \rho \cos \theta=2$ 上，点 $B\left(\rho_{2}, \frac{\pi}{6}\right)$ 在圆 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上（其中 $\rho \geq 0, \quad 0 \leq \theta<2 \pi)$.
（1）求 $\rho_{1}, \rho_{2}$ 的值
（2）求出直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的极坐标．
【答案】①$\rho_{1}=4, \rho_{2}=2$（2）（ $2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}$ ）
【解析】
## 【分析】
（1）将 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 点坐标代入即得结果；②联立直线与圆极坐标方程，解得结果．
【详解】（1）以极点为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
$\because \rho_{1} \cos \frac{\pi}{3}=2, \therefore \rho_{1}=4$,
因为点 $B$ 为直线 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 上，故其直角坐标方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，
又 $\rho=4 \sin \theta$ 对应的圆的直角坐标方程为：$x^{2}+y^{2}-4 y=0$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3} x \\ x^{2}+y^{2}-4 y=0\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \\ y=1\end{array}\right.$ ，
对应的点为 $(0,0),(\sqrt{3}, 1)$ ，故对应的极径为 $\rho_{2}=0$ 或 $\rho_{2}=2$ ．
②$\because \rho \cos \theta=2, \rho=4 \sin \theta, \therefore 4 \sin \theta \cos \theta=2, \therefore \sin 2 \theta=1$ ，
$\because \theta \in[0,2 \pi), \therefore \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$,
当 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时 $\rho=2 \sqrt{2}$ ；
当 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$ 时 $\rho=-2 \sqrt{2}<0$ ，舍；即所求交点坐标为当 $\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ ，
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题．
## C．［选修4－5：不等式选讲］