（16分）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成 3…——2011 高考物理第 16 题答案解析

【考点】1H：匀变速直线运动的公式；37：牛顿第二定律；43：平抛运动

【专题】16：压轴题

【分析】开始时小球沿斜面向上做匀加速，小物块向下也做匀加速，两者的加速度大小相等．对各自受力分析，运用牛顿第二定律列出等式，解出方程

小物块落地静止不动，小球继续向上做匀减速运动，对其受力分析，运用牛顿第二定律解出此时的加速度（与前一阶段加速度不等），结合运动学公式求出小球从管口抛出时的速度大小

运用平抛运动的规律表示出小球平抛运动的水平位移，利用数学知识证明问题

【解答】解：（1）设细线中的张力为T，对小球和小物块各自受力分析：

根据牛顿第二定律得：

对 M： $\mathrm { M g \mathrm { ~ - ~ } T { = } M a }$

对 $\mathrm { { m } \colon \mathrm { { \ T } \cdot \ m g s i n } { 3 0 } ^ { \circ } \ = \mathrm { { m a } } }$

且 $\mathbf { M } { = } \mathbf { k } \mathbf { m }$

解得： $\mathrm { a } { = } \frac { 2 k - 1 } { 2 ( k { + } 1 ) } g$

> ②设 M 落地时的速度大小为v，m 射出管口时速度大小为 $\mathbf { v } _ { 0 }$ ，M 落地后 m 的加速度为 ${ \bf a } _ { 0 }$

根据牛顿第二定律有： $- \mathrm { \ m g s i n { 3 0 } ^ { \circ } \ = m a _ { 0 } }$

对于 m 匀加速直线运动有： $\mathbf { v } ^ { 2 } { = } 2 \mathbf { a } \mathrm { L s i n } 3 0 ^ { \circ }$

对于小物块落地静止不动，小球 m 继续向上做匀减速运动有： $\mathbf { v } ^ { 2 } - \mathbf { v } _ { 0 } { } ^ { 2 } = 2 \mathbf { a } _ { 0 } \mathbf { I }$ $( 1 - \sin 3 0$ °）

解得： $\mathrm { v } _ { 0 } \mathrm { = } \sqrt { \frac { k - 2 } { 2 ( k + 1 ) } g L } ( \mathrm { k } > 2 )$

（3）平抛运动 $\mathbf { x } = \mathbf { v } _ { 0 } \mathbf { t }$ $\mathrm { L s i n } 3 0 ^ { \circ } \ = \frac 1 2 \mathbf { g } \mathbf { t } ^ { 2 }$

解得 $\mathrm { x } { = } \mathrm { L } \sqrt { \frac { k { - } 2 } { 2 ( k { + } 1 ) } }$

因为 $| \frac { k - 2 } { k + 1 } |$ ，所以 $\mathbf { x } \ll \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathrm { L }$ ，得证

答：（1）求小物块下落过程中的加速度大小是 ${ \frac { 2 k - 1 } { 2 ( k + 1 ) } } .$ ；

（2）求小球从管口抛出时的速度大小是 ${ \sqrt { \frac { k - 2 } { 2 ( k + 1 ) } g L } } ;$

【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律

要注意第②问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的m加速度不相等

第（3）问中，因为 $| \frac { k - 2 } { k + 1 } \leq 1 |$ ，所以 $x = L \sqrt { \frac { k - 2 } { 2 ( k + 1 ) } } < \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } L$