已知 ( x _ 1 , y _ 1 ) , ( x _…——2024 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设 $x _ { 1 } < x _ { 2 }$ ，因为函数 $y = 2 ^ { x }$ 是增函数，所以 $0 < 2 ^ { x _ { 1 } } < 2 ^ { x _ { 2 } }$ ，即 $0 < y _ { 1 } < y _ { 2 }$ 对于选项AB：可得 $\frac { 2 ^ { x _ { 1 } } + 2 ^ { x _ { 2 } } } { 2 } > \sqrt { 2 ^ { x _ { 1 } } { \cdot } 2 ^ { x _ { 2 } } } = 2 ^ { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } }$ ，即 ${ \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } > 2 ^ { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } > 0$ 根据函数 $y = \log _ { 2 } x$ 是增函数，所以 $\log _ { 2 } { \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } > \log _ { 2 } 2 ^ { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } }$ ，故A 正确，B错误；对于选项C：例如 $x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = 1$ ，则 $y _ { 1 } = 1 , y _ { 2 } = 2$ 可得 $\log _ { 2 } \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } = \log _ { 2 } \frac { 3 } { 2 } \in ( 0 , 1 )$ ，即 $\log _ { 2 } { \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } < 1 = x _ { 1 } + x _ { 2 }$ ，故C错误；对于选项D：例如 $x _ { 1 } = - 1 , x _ { 2 } = - 2$ ，则 $y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } , y _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 }$ 可得 $\log _ { 2 } { \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } } = \log _ { 2 } { \frac { 3 } { 8 } } = \log _ { 2 } { 3 } - 3 \in ( - 2 , - 1 )$ ，即 $\log _ { 2 } \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } > - 3 = x _ { 1 } + x _ { 2 }$ ，故D 错误，故选：A.