2016_江苏卷
12．（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } - 2 { \bf y } + 4 \mathcal { R } \nabla 0 } \\ { 2 { \bf x } + { \bf y } - 2 \mathcal { R } 0 } \\ { 3 { \bf x } - { \bf y } - 3 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $\mathbf { x } ^ { 2 } { + } \mathbf { y } ^ { 2 }$ 的取值范围是
$[ \frac { 4 } { 5 } , 1 3 ]$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \mathbf { \mathcal { S } } 0 } \\ { 2 \mathbf { x } + \mathbf { y } - 2 \mathbf { \mathcal { S } } 0 } \\ { 3 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 3 \mathbf { \mathcal { S } } \mathbf { \Psi } 0 } \end{array} \right.$ ，则 $\mathbf { x } ^ { 2 } { + } \mathbf { y } ^ { 2 }$ 的取值范围是 [ 0
$\frac { 4 } { 5 } , \frac { 1 3 1 } { 1 3 1 }$
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设 $\scriptstyle \mathbf { Z } = \mathbf { X } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 }$ ，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
点O到直线BC： $2 \mathrm { x } + \mathrm { y } - 2 { = } 0$ 的距离最小，
由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 = 0 } \\ { 3 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 3 = 0 } \end{array} } \right.$ 得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } { = } 2 } \\ { \mathbf { y } { = } 3 } \end{array} \right.$ ，即A（2，3），此时 $\scriptstyle \mathtt { Z } = 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = 4 + 9 = 1 3$
点O到直线BC： $2 \mathrm { x } + \mathrm { y } - 2 { = } 0$ 的距离d $= \frac { \vert - 2 \vert } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = \frac { 2 } { \sqrt { 5 } }$
则 $z = { \mathrm { d } } ^ { 2 } = ( \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } ) \ ^ { 2 } = \frac { 4 } { 5 } ,$
故z的取值范围是 $[ \frac { 4 } { 5 } , 1 3 ]$
故答案为： $[ \frac { 4 } { 5 } , 1 3 ]$
【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键