（17）（本小题满分 12 分） A B C 中，角A，B…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（本小题满分12分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ 。已知 $a=3, \cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}, B=A+\frac{\pi}{2}$ ．
（I）求 $b$ 的值；
（II）求 $\triangle A B C$ 的面积。

## （17）【解析】：

（ I ）由题意知： $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$$ \sin B=\sin \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=\sin A \cos \frac{\pi}{2}+\cos A \sin \frac{\pi}{2}=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}, $$

由正弦定理得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow b=\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}=3 \sqrt{2}$
（II）由余弦定理得：
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow c^{2}-4 \sqrt{3} c+9=0 \Rightarrow c_{1}=\sqrt{3}, c_{2}=3 \sqrt{3}$,
又因为 $B=A+\frac{\pi}{2}$ 为钝角，所以 $b>c$ ，即 $c=\sqrt{3}$ ，
所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．