2014 高考数学第 19 题答案解析

19．（本小题满分 16 分）
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$，其中 e 是自然对数的底数．
（1）证明：$f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $m f(x) \leq \mathrm{e}^{-x}+m-1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（3）已知正数 $a$ 满足：存在 $x_{0} \in[1,+\infty)$，使得 $f\left(x_{0}\right)