（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 $120^{\circ}$ 得到的， G 是 $\widehat{\mathrm{DF}^{\prime}}$ 的中点。
（I）设 P 是 $\widehat{\mathrm{CE}}$ 上的一点，且 $\mathrm{AP} \perp \mathrm{BE}$ ，求 $\angle \mathrm{CBP}$ 的大小；
（II）当 $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AD}=2$ 时，求二面角 $\mathrm{E}-\mathrm{AG}-\mathrm{C}$ 的大小。

【解答】解：（I ）$\because A P \perp B E, A B \perp B E$ ，且 $A B, A P \subset$ 平面 $A B P, A B \cap A P=A$ ，
$\therefore B E \perp$ 平面 $A B P$ ，又 $B P \subset$ 平面 $A B P$ ，
$\therefore B E \perp B P$ ，又 $\angle E B C=120^{\circ}$ ，
因此 $\angle C B P=30^{\circ}$ ；
（II）解法一、
取 $\widehat{\mathrm{EC}}$ 的中点 $H$ ，连接 $E H, G H, C H$ ，
$\because \angle \mathrm{EBC}=120^{\circ}, \therefore$ 四边形 BECH 为菱形，
$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{GE}=\mathrm{AC}=\mathrm{GC}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$ ．
取AG中点M，连接EM，CM，EC，
则 $E M \perp A G, C M \perp A G$ ，
$\therefore \angle \mathrm{EMC}$ 为所求二面角的平面角．
又 $A M=1, \therefore E M=C M=\sqrt{13-1}=2 \sqrt{3}$ ．
在 $\triangle B E C$ 中，由于 $\angle E B C=120^{\circ}$ ，
由余弦定理得： $\mathrm{EC}^{2}=2^{2}+2^{2}-2 \times 2 \times 2 \times \cos 120^{\circ}=12$ ，
$\therefore \mathrm{EC}=2 \sqrt{3}$ ，因此 $\triangle \mathrm{EMC}$ 为等边三角形，
故所求的角为 $60^{\circ}$ ．
解法二、以 B 为坐标原点，分别以 $\mathrm{BE}, \mathrm{BP}, \mathrm{BA}$ 所在直线为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴建立空间直角坐标系。

由题意得：$A(0,0,3), E(2,0,0), G(1, \sqrt{3}, 3), C(-1, \sqrt{3}, 0$ ），

故 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(2,0,-3), \overrightarrow{\mathrm{AG}}=(1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{\mathrm{CG}}=(2,0,3)$ ．
设 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 为平面AEG的一个法向量，
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}_{1}-3 \mathrm{z}_{1}=0 \\ \mathrm{x}_{1}+\sqrt{3} \mathrm{y}_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $\mathrm{z}_{1}=2$ ，得 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=(3,-\sqrt{3}, 2)$ ；

设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}, \mathrm{z}_{2}\right)$ 为平面ACG的一个法向量，
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A G}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{C G}=0\end{array}\right.$ ，可得 $\left\{\begin{array}{l}x_{2}+\sqrt{3} y_{2}=0 \\ 2 x_{2}+3 z_{2}=0\end{array}\right.$, 取 $z_{2}=-2$ ，得 $\vec{n}=(3,-\sqrt{3},-2)$ ．
$\therefore \cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{2}$.
∴ 二面角 $\mathrm{E}-\mathrm{AG}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．