（5分）已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O…——2012 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 $\mathrm{OO}_{1}$ ，进而求出底面A $B C$ 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为 $O$ ，过 $A B C$ 三点的小圆的圆心为 $O_{1}$ ，则 $O O_{1} \perp$ 平面 $A B C$ ，
延长 $\mathrm{CO}_{1}$ 交球于点 D ，则 $\mathrm{SD} \perp$ 平面 ABC ．
$\because \mathrm{CO}_{1}=\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\therefore \mathrm{OO}_{1}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
∴ 高 $\mathrm{SD}=2 \mathrm{OO}_{1}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，
$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的正三角形，
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，
$\therefore V_{\text {三棱锥 } S-A B C}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{2 \sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离．