若 x，y 满足 x ^ 2 + y ^ 2 - x y…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假

【详解】因为 $a b \leq \left( { \frac { a + b } { 2 } } \right) ^ { 2 } \leq { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } ( a , b \hat { \mathsf { I } } { \textbf { R } } )$ ），由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ 可变形为，

$\left( x + y \right) ^ { 2 } - 1 = 3 x y \leq 3 { \Bigg ( } { \frac { x + y } { 2 } } { \Bigg ) } ^ { 2 }$ ，解得 $- 2 \leq x + y \leq 2$ ，当且仅当x y= = -1时， $x + y = - 2$ ，当且仅当

$x = y = 1$ 时， $x + y = 2$ ，所以A 错误，B正确；

由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ 可变形为 $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) - 1 = x y \leq \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 }$ ，解得 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 2$ ，当且仅当 $x = y = \pm 1$ 时取等号，所以C正确；

因为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ 变形可得 $( x - \frac { y } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } y ^ { 2 } = 1$ ，设 $x - { \frac { y } { 2 } } = \cos \theta , { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } y = \sin \theta$ ，所以

$x = \cos \theta + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \sin \theta , y = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \sin \theta$ ，因此

$$ x ^ {2} + y ^ {2} = \cos^ {2} \theta + \frac {5}{3} \sin^ {2} \theta + \frac {2}{\sqrt {3}} \sin \theta \cos \theta = 1 + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin 2 \theta - \frac {1}{3} \cos 2 \theta + \frac {1}{3} $$

$= \frac { 4 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \sin \left( 2 \theta - \frac { \pi } { 6 } \right) \in \left[ \frac { 2 } { 3 } , 2 \right]$ ，所以当 $x = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } , y = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$ 时满足等式，但是 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 1$ 1不成立，所以D错误

故选：BC