（2013•广东）（几何证明选讲选做题） 如图，AB是圆O…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（2013•广东）（几何证明选讲选做题）

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则B$c { = } \_ 2 { \sqrt { 3 } }$

考点： 与圆有关的比例线段

专题： 压轴题；直线与圆

分析： 利用AB是圆O的直径，可得 $\angle \mathrm { A C B } { = } 9 0 ^ { \circ }$ ．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得 $\angle \mathrm { D } { = } \angle \mathrm { B }$ ．再利用弦切角定理可得 $\angle A C E { = } \angle \mathrm { B }$ ，得到 $\scriptstyle \angle A E C = \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，进而得到 $\triangle C E D \sim \triangle A C$ B，利用相似三角形的性质即可得出

解答： 解：∵AB是圆O的直径， $\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ．即 $\mathrm { A C \bot B D }$ $\scriptstyle \mathbb { X } \cdots \mathrm { B C = C D } , \ \therefore \mathrm { A B = A D } , \ \cdot \angle \mathrm { D = \angle A B C } , \ \angle \mathrm { E A C = \angle B A C } .$ ∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°$\therefore \Delta C E D \sim \Delta A C B .$ $\therefore \frac { C D } { A B } = \frac { E D } { B C } ,$ ，又CD=BC，$\therefore B C = \sqrt { A B \cdot E D } = \sqrt { 6 \times 2 } = 2 \sqrt { 3 } .$

点评： 本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力