2015_退役省自主命题 (2015·理)
22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图， AB 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 B，直线 AD 交 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$，垂足为 C．
（I）证明：$\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{DBA}$；
（II）若 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{DC}, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$，求 $\odot \mathrm{O}$ 的直径．
（I）证明见解析；（II） 3
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（I）证明见解析；（II） 3.
【解析】
试题分析：（I）先证 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BED}$，再证 $\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{BED}$，进而可证 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{DBA}$；（II）先由（I）知 BD 平分 $\angle \mathrm{CBA}$，进而可得 AD 的值，再利用切割线定理可得 AE 的值，进而可得 $\odot \mathrm{O}$ 的直径．
试题解析：（I）因为 DE 为圆 O 的直径，则 $\angle B E D+\angle E D B=90^{\circ}$，
又 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$，所以 $\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{EDB}=90^{\circ}$，从而 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BED}$．
又 AB 切圆 O 于点 B，得 $\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{BED}$，所以 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{DBA}$．
（II）由（I）知 BD 平分 $\angle \mathrm{CBA}$，则 $\frac{B A}{B C}=\frac{A D}{C D}=3$，又 $B C=\sqrt{2}$，从而 $A B=3 \sqrt{2}$，
所以 $A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=4$，所以 $A \mathrm{D}=3$．
由切割线定理得 $A B^{2}=\mathrm{AD} \cdot A E$，即 $A E=\frac{A B^{2}}{\mathrm{AD}}=6$，
故 $\mathrm{DE}=\mathrm{AE}-\mathrm{AD}=3$，即圆 O 的直径为 3．
考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理．
【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误。凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识。