（4分）（2008•陕西）关于平面向量 a , b , c…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【考点】命题的真假判断与应用。
【专题】压轴题；数形结合。
【分析】（1）向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ 的关系；

（2）中，由 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \| \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为 0 的原则，可以构造一个关于 k 的方程，解方程即可求出 k 值；
（3）中，若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；

【解答】解：（1）若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=\vec{a} \bullet \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \bullet(\vec{b}-\vec{c})=0$ ，此时 $\vec{a} \perp(\vec{b}-\vec{c})$ ，而不一定 $\vec{b}=\vec{c}$ ，（1）为假。
（2）由两向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \| \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的充要条件，知 $1 \times 6-\mathrm{k} \bullet(-2)=0$ ，解得 $\mathrm{k}=-3$ ，（2）为真．
（3）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，设 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{b}, \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\mathrm{a}-\mathrm{b}$ ，
由 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，可知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形。
由平行四边形法则作出向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，
此时 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 成的角为 $30^{\circ}$ 。（3）为假。
综上，只有②是真命题。
答案：②

【点评】本题考查的知识点是向量的运算性质及命题的真假判断与应用，处理的关键是熟练掌握向量的运算性质，如两个向量垂直，则数量积为 0 ，两个向量平等，坐标交叉相乘差为 0 等．