（5分）在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2018 高考数学第 9 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角。
【分析】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值。

【解答】解以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系

设正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 棱长为 2 ，
则 $A(2,0,0), E(0,2,1), D(0,0,0)$ ，
$C(0,2,0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(-2,2,1), \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(0,-2,0)$ ，
设异面直线 $A E$ 与 $C D$ 所成角为 $\theta$ ，
则 $\cos \theta=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AE}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}=\frac{4}{\sqrt{9} \cdot 2}=\frac{2}{3}$ ，
$\sin \theta=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$,
$\therefore \tan \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
∴ 异面直线 $A E$ 与 $C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．