如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C， A P…——2017 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P为垂足

求证： $( 1 ) \angle P A C = \angle C A B$

> ② $\mathsf { A C } ^ { 2 } = \mathsf { A P bullet A B }$

【分析】（1）利用弦切角定理可得： $\angle A C P = \angle A B C$ ．利用圆的性质可得 $\angle$ $A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ．再利用三角形内角和定理即可证明

> ②由①可得： $\triangle \mathsf { A P C } \sim \triangle \mathsf { A C B }$ ，即可证明

【解答】证明：①∵直线PC 切半圆O于点 $\mathsf { C } , \mathsf { \Omega } \therefore \angle A C P = \angle A B C$

$\because \mathsf { A B }$ 为半圆 O 的直径， $\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$

$$ \because A P \bot P C , \therefore \angle A P C = 9 0 ^ { \circ } . $$

∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，

$$ \therefore \angle P A C = \angle C A B . $$

> ②由①可得： $\triangle \mathsf { A P C } \sim \triangle \mathsf { A C B }$

$$ \therefore \frac { A C } { A B } = \frac { A P } { A C } . $$

∴ $\cdot \mathsf { A C } ^ { 2 } = \mathsf { A P } \bullet \mathsf { A B }$

【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题