（12分）（2011 • 山东）在 ABC 中，内角 A…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2011•山东）在 ABC 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\frac{\cos \mathrm{A}-2 \cos \mathrm{C}}{\cos \mathrm{B}}=\frac{2 \mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$
（I）求 $\frac{\sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}}$ 的值；
（II）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{1}{4}, \mathrm{~b}=2$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 S ．

考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．
专题：解三角形．
分析：（I）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得 $\sin$ C 和 $\sin \mathrm{A}$ 的关系式，则 $\frac{\sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}}$ 的值可得。
（II）先通过余弦定理可求得 a 和 c 的关系式，同时利用（I）中的结论和正弦定理求得 a 和 c 的另一关系式，最后联立求得 a 和 c ，利用三角形面积公式即可求得答案。
解答：

$$ \begin{aligned} & \text { 解: ( I ) 由正弦定理设 } \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k \\ & \text { 则 } \frac{2 c-a}{b}=\frac{2 k \sin C-k \sin A}{k \sin B}=\frac{2 \sin C-\sin A}{\sin B}=\frac{\cos A-2 \cos C}{\cos B} \\ & \text { 整理求得 } \sin (A+B)=2 \sin (B+C) \\ & \text { 又 } A+B+C=\pi \\ & \therefore \sin C=2 \sin A, \quad \text { 即 } \frac{\sin C}{\sin A}=2 \end{aligned} $$

（II）由余弦定理可知 $\cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{2 \mathrm{ac}}=\frac{1}{4}$①

$$ \begin{aligned} & \text { 由 (I) 可知 } \frac{\sin C}{\sin A}=\frac{c_{-}}{a}=2 \text { ② } \\ & \text { 再由 } b=2 \text {, ①② 联立求得 } c=2, a=1 \\ & \sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4} \\ & \therefore S=\frac{1}{2} a \sin B=\frac{\sqrt{15}}{4} \end{aligned} $$

点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用。考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力。