（本小题满分 12 分） ABC 的内角 A , B， C…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）$\frac{\pi}{3} ; ~$（II）$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．

## 【解析】

试题分析：（I）先利用 $\vec{m} / / \vec{n}$ 可得 $a \sin \mathrm{~B}-\sqrt{3} b \sin \mathrm{~A}=0$，再利用正弦定理可得 $\tan \mathrm{A}$ 的值，进而可得 A的值；（II）由余弦定理可得 $c$ 的值，进而利用三角形的面积公式可得 $\Delta \mathrm{ABC}$ 的面积。

试题解析：（I）因为 $\vec{m} / / \vec{n}$，所以 $a \sin B-\sqrt{3} b \cos A=0$，
由正弦定理，得 $\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}-\sqrt{3} \sin \mathrm{~B} \cos \mathrm{~A}=0$
又 $\sin B \neq 0$，从而 $\tan A=\sqrt{3}$，
由于 $0（II）解法一：由余弦定理，得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
而 $a=\sqrt{7} \mathrm{~b}=2, \mathrm{~A}=\frac{\pi}{3}$
得 $7=4+c^{2}-2 c$，即 $c^{2}-2 c-3=0$
因为 $c>0$，所以 $c=3$．
故 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{1}{2} \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．
解法二：由正弦定理，得 $\frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\sin \mathrm{~B}}$，
从而 $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
又由 $a>b$，知 $\mathrm{A}>\mathrm{B}$，所以 $\cos B=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$．
故 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)=\sin B \cos \frac{\pi}{3}+\cos B \sin \frac{\pi}{3}=\frac{3 \sqrt{21}}{14}$
所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{1}{2} \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式．
【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题。解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分。高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是＂变角、变函数名和变运算形式＂，其中的核心是＂变角＂，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。