2014_退役省自主命题 (2014·文)
19．（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
已知函数 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y=\frac{1}{2} x$ ．
（I）求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值．
（I）$a=\frac{5}{4}$ ；（II）单调递增区间 $(5,+\infty)$ ，单调递减区间 $(0,5), f(x)$ 极小 $=f(5)=-\ln 5$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（I）$a=\frac{5}{4}$ ；（II）单调递增区间 $(5,+\infty)$ ，单调递减区间 $(0,5), f(x)$ 极小 $=f(5)=-\ln 5$
【解析】
试题分析：（I）由 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^{2}}-\frac{1}{x}$ ，
而曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y=\frac{1}{2} x$ ，所以 $f^{\prime}(1)=-2$ ，解方程可得 $a$ 的值；
（II）由（I）的结果知 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{5}{4 x}-\ln x-\frac{3}{2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{5}{4 x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-4 x-5}{4 x^{2}}$ 于是可用导函数
求 $f(x)$ 的单调区间；
试题解析：
解：（I）对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^{2}}-\frac{1}{x}$ ，由 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线垂直于直线 $y=\frac{1}{2} x$ 知 $f^{\prime}(x)=-\frac{3}{4}-a=-2$ ，解得 $a=\frac{5}{4}$ ；
（II）由（I）知 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{5}{4 x}-\ln x-\frac{3}{2}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{5}{4 x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-4 x-5}{4 x^{2}}$ ，
今 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=-1$ 或 $x=5$ ．因 $x=-1$ 不在 $f(x)$ 的定义域 $(0,+\infty)$ 内，故舍去．
当 $x \in(0,5)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,5)$ 内为减函数；
当 $x \in(5,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $(5,+\infty)$ 內为增函数；
由此知函数 $f(x)$ 在 $x=5$ 时取得极小值 $f(5)=-\ln 5$ ．
考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用．