2014_退役省自主命题 (2014·文)
18．（本小题满分 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a+b+c=8$
（I）若 $a=2, b=\frac{5}{2}$ ，求 $\cos C$ 的值；
（II）若 $\sin A \cos ^{2} \frac{B}{2}+\sin B \cos ^{2} \frac{A}{2}=2 \sin C$ ，且 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{9}{2} \sin C$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值．
【答案】（ I ）$-\frac{1}{5}$ ；（II ）$a=3, b=3$ ．
【解析】
试题分析：（ I ）由 $a+b+c=8$ 及 $a=2, b=\frac{5}{2}$ 可得 $c=\frac{7}{2}$ ，而后由余弦定理可求 $\cos C$ 的值；
（II）由降幂公式 $\sin A \cos ^{2} \frac{B}{2}+\sin B \cos ^{2} \frac{A}{2}=2 \sin C \Rightarrow \sin A \cdot \frac{1+\cos B}{2}+\sin B \cdot \frac{1+\cos A}{2}=2 \sin C \Rightarrow \sin A+\sin B=3 \sin C \Rightarrow a+b=3 c$
又因为 $S=\frac{9}{2} \sin C \Rightarrow \frac{1}{2} a b \sin C=\frac{9}{2} \sin C \Rightarrow a b=9$ ，最后解方程组可得 $a$ 和 $b$ 的值．
试题解析：
解：（I）由题意可知：$c=8-(a+b)=\frac{7}{2}$
由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=-\frac{2^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{5}{2}} \frac{-\left(\frac{7}{2}\right)^{2}}{5}=-\frac{1}{5}$
（II）由 $\sin A \cos ^{2} \frac{B}{2}+\sin B \cos ^{2} \frac{A}{2}=2 \sin C$ 可得： $\sin A \cdot \frac{1+\cos B}{2}+\sin B \cdot \frac{1+\cos A}{2}=2 \sin C$
化简得 $\sin A+\sin A \cos B+\sin B+\sin B \cos A=4 \sin C$
因为 $\sin A \cos B+\sin B \cos A=\sin (A+B)=\sin C$ ，所以 $\sin A+\sin B=3 \sin C$
由正弦定理可知：$a+b=3 c$ ，又因 $a+b+c=8$ ，故 $a+b=6$
由于 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{9}{2} \sin C$ ，所以 $a b=9$ ，从而 $a^{2}-6 a+9=0$ ，解得 $a=3, b=3$ 。
考点：1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式；2、正弦定理与余弦定理．