2019_新课标 II 卷 (2019·理)
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星＂鹊桥＂，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行．$L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 $M_{1}$ ，月球质量为 $M_{2}$ ，地月距离为 $R, L_{2}$ 点到月球的距离为 $r$ ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，$r$ 满足方程：
$\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$.
设 $\alpha=\frac{r}{R}$ ，由于 $\alpha$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 \alpha^{3}+3 \alpha^{4}+\alpha^{5}}{(1+\alpha)^{2}} \approx 3 \alpha^{3}$ ，则 $r$ 的近似值为
【解析】
## 【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立 $\alpha$ 的方程，解方程、近似计算。题目所处位置应是＂解答题＂，但由于题干较长，易使考生＂望而生畏＂，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由 $\alpha=\frac{r}{R}$ ，得 $r=\alpha R$
因为 $\frac{M_{1}}{(R+r)^{2}}+\frac{M_{2}}{r^{2}}=(R+r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ ，
所以 $\frac{M_{1}}{R^{2}(1+\alpha)^{2}}+\frac{M_{2}}{\alpha^{2} R^{2}}=(1+\alpha) \frac{M_{1}}{R^{2}}$ ，
即 $\frac{M_{2}}{M_{1}}=\alpha^{2}\left[(1+\alpha)-\frac{1}{(1+\alpha)^{2}}\right]=\frac{\alpha^{5}+3 \alpha^{4}+3 \alpha^{3}}{(1+\alpha)^{2}} \approx 3 \alpha^{3}$ ，
解得 $\alpha={ }^{3} \sqrt{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}$ ，
所以 $r=\alpha R=3 \sqrt{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$ ．
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．