2016_上海卷
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知 $a \in \mathbb { R } .$，函数 $f ( x ) = \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { x } + a )$
（1）当a =1时，解不等式 $f ( x ) > 1$
（2）若关于x 的方程 $f ( x ) + \log _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) = 0$ 的解集中恰有一个元素，求a 的值；
③设a >0，若对任意 $t \in [ \frac 1 2 , 1 ]$，函数 f x 在区间 $[ t , t + 1 ]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
(1) $x \in ( 0 , 1 )$; (2) 0或 $- { \frac { 1 } { 4 } }$; (3) $\left[ { \frac { 2 } { 3 } } , + \infty \right]$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（1） $x \in ( 0 , 1 )$；（2）0或 $- { \frac { 1 } { 4 } }$；（3） $\left[ { \frac { 2 } { 3 } } , + \infty \right]$
【解析】
试题分析：（1）由 $\log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { x } + 1 \right) > 1$，得 $\frac { 1 } { x } { + } 1 { > } 2$，从而得解
（2）转化得到 $\log _ { 2 } ( \frac { 1 } { x } + a ) + \log _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) = 0$，讨论当a =0、 $a \neq 0$ 时的情况即可
（3）讨论 $f \left( x \right) \overleftarrow { \mathbb { E } } \left( 0 , + \infty \right)$ 上的单调性，再确定函数f(x)在区间 $\left[ t , t + 1 \right]$ 上的最大值与最小值之差，由此得到 $a t ^ { 2 } + \left( a + 1 \right) t - 1 \geq 0$，对任意 $t \in \left[ { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right]$ 成立．
试题解析： （1）由 $\log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { x } + 1 \right) > 1$，得 $\frac { 1 } { x } { + } 1 { > } 2$，解得 $x \in ( 0 , 1 )$
> ② $\log _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { x } } + a \right) + \log _ { 2 } \left( x ^ { 2 } \right) = 0$ 有且仅有一解，
等价于 $\left( { \frac { 1 } { x } } + a \right) x ^ { 2 } = 1$ 有且仅有一解，等价于 $a x ^ { 2 } + x - 1 = 0$ 有且仅有一解.
当a=0时，x=1，符合题意；
当 $\alpha \neq 0$ 时， $\Delta = 1 + 4 a = 0 , a = - \frac { 1 } { 4 }$
综上， $a = 0$ 或 $- { \frac { 1 } { 4 } }$
> ③当 $0 < x _ { 1 } < x _ { 2 }$ 时， $\frac { 1 } { x _ { 1 } } + a > \frac { 1 } { x _ { 2 } } + a$ $\log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { x _ { 1 } } + a \right) > \log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { x _ { 2 } } + a \right)$
所以f(x)在(0.+∞)上单调递减.
函数 f(x) 在区间 $\left[ t , t + 1 \right]$ 上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1).
$f \left( t \right) - f \left( t + 1 \right) = \log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { t } + a \right) - \log _ { 2 } \left( \frac { 1 } { t + 1 } + a \right) \leq 1$ 即 $a t ^ { 2 } + \left( a + 1 \right) t - 1 \geq 0$，对任意$t \in \left[ { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right]$ 成立
因为 $a > 0$，所以函数 $y = a t ^ { 2 } + { \bigl ( } a + 1 { \bigr ) } t - 1$ 在区间 $\left[ { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right]$ 上单调递增，
所以 $t = \frac { 1 } { 2 }$ 时， y 有最小值 ${ \frac { 3 } { 4 } } a - { \frac { 1 } { 2 } }$，由 $\frac { 3 } { 4 } a - \frac { 1 } { 2 } \geq 0$，得 $a \geq \frac { 2 } { 3 }$
故a的取值范围为 $\left[ { \frac { 2 } { 3 } } , + \infty \right]$
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.