（5分）设函数 f(x)= (x+1)^ 2 +sin x…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】函数可化为 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}=1+\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ ，令 $g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ ，则 $g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ 为奇函数，从而函数 $g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和为 0 ，由此可得函数 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和．

【解答】解：函数可化为 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}=1+\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ ，令 $g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ ，则 $g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ 为奇函数，
$\therefore g(x)=\frac{2 x+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和为 0 ．
∴ 函数 $f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}$ 的最大值与最小值的和为 $1+1+0=2$ ．
即 $\mathrm{M}+\mathrm{m}=2$ 。
故答案为： 2 ．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简

，转化为利用函数的奇偶性解题．