（2014•江苏）已知 x >0, y >0，证明 (1+…——2014 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
（2014•江苏）已知 $\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0$ ，证明 $\left(1+\mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}\right)\left(1+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}\right) \geq 9 \mathrm{xy}$ ．

考点 不等式的证明．
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专题 证明题；不等式的解法及应用．
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分析 由均值不等式可得 $1+x+y^{2} \geq 3 \sqrt[3]{x y^{2}}, 1+x^{2}+y \geq 3 \sqrt[3]{x^{2} y}$ ，两式相乘可得结论。
解答 证明：由均值不等式可得 $1+x+y^{2} \geq 3 \sqrt[3]{x y^{2}}, 1+x^{2}+y \geq 3 \sqrt[3]{x^{2} y}$
分别当且仅当 $x=y^{2}=1, x^{2}=y=1$ 时等号成立，
∴ 两式相乘可得 $\left(1+x+y^{2}\right)\left(1+x^{2}+y\right) \geq 9 x y$ ．
点评 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．

## （二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）