如图，在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2012 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5分）（2012•江苏）如图，在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AA}_{1}=2 \mathrm{c}$ m ，则四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$ 的体积为 $\_\_\_\_$ 6 $\mathrm{cm}^{3}$ ．

考点 棱柱、棱锥、棱台的体积．
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专题 空间位置关系与距离；立体几何．
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分析 过 A 作 $\mathrm{AO} \perp \mathrm{BD}$ 于 O ，求出 AO ，然后求出几何体的体积即可．
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解答 解：过 A 作 $\mathrm{AO} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{O}, \mathrm{AO}$ 是棱锥的高，所以 $\mathrm{AO}=\frac{3 \times 3}{3 \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
所以四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$ 的体积为 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \times 2 \times 3 \sqrt{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2}=6$ ．
故答案为： 6 ．
点评 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．