2011 浙江高考数学 2011_浙江卷 (2011·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（15分）（2011•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{2} \ln \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}, \mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{f}(1) \geq \mathrm{e}-1$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间
（II）求所有的实数 a ，使 $\mathrm{e}-1 \leq \mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{e}^{2}$ 对 $\mathrm{x} \in[1$ ， e$]$ 恒成立．注： e 为自然对数的底数．

Accepted Answer

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用。 【分析】（I）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减来求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间即可。 （II）先利用（I）的结论求出 $f(x)$ 在 $[1, e]$ 上的最值，把原不等式转化为比较 $f(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最值与两端点值之间的关系即可求所有的实数 a 。 【解答】解：（I ）因为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{2} \ln \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}$ ，其中 $\mathrm{x}>0$ ． 所以 $f^{\prime}(x)=\frac{a^{2}}{x}-2 x+a=-\frac{(x-a)(2 x+a)}{x}$ ． 由于 $a>0$ ，所以 $f(x)$ 的增区间为 $(0, a), f(x)$ 的减区间为 $(a,+\infty)$ 。 （II）证明：由题得， $\mathrm{f}(1)=\mathrm{a}-1 \geq \mathrm{e}-1$ ，即 $\mathrm{a} \geq \mathrm{e}$ ， 由（I）知 $f(x)$ 在 $[1, e]$ 内单调递增 要使 $e-1 \leq f(x) \leq e^{2}$ 对 $x \in[1, e]$ 恒成立， 只要 $\left\{\begin{array}{l}f(1)=a-1 \geqslant e-1 \ f(e)=a^{2}-e^{2}+a e \leqslant e^{2}\end{array}ight.$ 解得 $a=e$ ． 【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减。

2011 高考数学第 21 题答案解析

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