2015_上海卷 (2015·文)
14．已知函数 $f(x)=\sin x$ ．若存在 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ 满足 $0 \leq x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m} \leq 6 \pi$ ，且 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{3}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(x_{m-1}\right)-f\left(x_{m}\right)\right|=12\left(m \geq 2, m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $m$的最小值为
8
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 8
【解析】因为函数 $f(x)=\sin x$ 对任意 $x_{i}, \quad x_{j}(i, j=1,2,3, \cdots, m)$ ， $\left|f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{j}\right)\right| \leq f(x)_{\text {max }}-f(x)_{\text {min }}=2$,欲使 $m$ 取得最小值，尽可能多的让 $x_{i}(i=1,2,3, \cdots, m)$ 取得最高点，考虑 $0 \leq x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m} \leq 6 \pi$, $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{3}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(x_{m-1}\right)-f\left(x_{m}\right)\right|=12\left(m \geq 2, m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 按下图取值满足条件，
所以 $m$ 的最小值为 8 ．
【考点定位】正弦函数的性质，最值．
二．选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分．