2012_北京卷 (2012·文)
16．（14 分）如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, D$ ，$E$ 分别为 $A C, A B$ 的中点，点 $F$ 为线段 $C D$ 上的一点，将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $\triangle A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} F \perp C D$ ，如图 2.
（1）求证： $\mathrm{DE} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CB}$ ；
（2）求证：$A_{1} F \perp B E$ ；
（3）线段 $A_{1} B$ 上是否存在点 $Q$ ，使 $A_{1} C \perp$ 平面 $D E Q$ ？说明理由．
图1
图2
【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】① $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别为 $\mathrm{AC}, \mathrm{AB}$ 的中点，易证 $\mathrm{DE} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CB}$ ；
（2）由题意可证 $D E \perp$ 平面 $A_{1} D C$ ，从而有 $D E \perp A_{1} F$ ，又 $A_{1} F \perp C D$ ，可证 $A_{1} F \perp$ 平面 BCDE，问题解决；
（3）取 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 的中点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ，则 $\mathrm{PQ} / / \mathrm{BC}$ ，平面 DEQ 即为平面 DEP ，由 $\mathrm{DE} \perp$平面，$P$ 是等腰三角形 $D A_{1} C$ 底边 $A_{1} C$ 的中点，可证 $A_{1} C \perp$ 平面 DEP，从而 $A_{1} C$ ⟂平面 DEQ．
【解答】解：（1）$\because D$ ，$E$ 分别为 $A C$ ，$A B$ 的中点，
$\therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ ，又 $\mathrm{DE} \not \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CB}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CB}$ ．
（2）由已知得 $A C \perp B C$ 且 $D E / / B C$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}$ ，又 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{CD}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}$ ，而 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}$ ，
$\therefore \mathrm{CE} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F}$ ，又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{CD}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp$ 平面 BCDE ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{BE}$ ．
（3）线段 $A_{1} B$ 上存在点 $Q$ ，使 $A_{1} C \perp$ 平面 DEQ．理由如下：如图，分别取 $A_{1} C$ ， $A_{1} B$ 的中点 $P, Q$ ，则 $P Q / / B C$ ．
$\because \mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{PQ}$ ．
∴ 平面 DEQ 即为平面 DEP．
由（II）知 $\mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}$ ，
$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，
又 $\because P$ 是等腰三角形 $D A_{1} C$ 底边 $A_{1} C$ 的中点，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{DP}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 DEP，从而 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 DEQ，
故线段 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 上存在点 Q ，使 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 DEQ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题。