在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半…——2024 高考数学第 27 题答案解析

【答案】 （1） $22 1y x= +$
（2） $34a=$
【解析】
【分析】 （1）根据
2 2cosx yxrr qìï= +í=ïî
可得C的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入C的直角方程，
法 1：结合参数s的几何意义可得关于a的方程，从而可求参数a的值；
法 2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a的值.
【小问 1 详解】
由 $cos 1r r q= +$，将
2 2cosx yxrr qìï= +í=ïî
代入 $cos 1r r q= +$，
在

故可得 $2 21x y x+ = +$，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 $22 1y x= +.$
【小问 2 详解】
对于直线l的参数方程消去参数t，得直线的普通方程为 $y x a= +.$
法 1：直线l的斜率为1，故倾斜角为 π4
，
故直线的参数方程可设为
2222x sy a sì=ïïíï= +ïî
，sÎR.
将其代入 $22 1y x= +$中得 2 22 2( 1) $2 1 0s a s a+ - + - =$
设 ,A B两点对应的参数分别为 1 2,s s，则 $21 2 1 22 2 1 , 2 1s s a s s a+ = - - = -$，
且 22Δ$8 1 8 1 16 16 0a a a= - - - = - >$，故 1a<，
21 2 1 2 1 24AB s s s s s s\ = - = + -228 1 8( 1) 2a a= - - - =，解得 34a=.
法 2：联立 22 1y x ay x= +ìí= +î
，得 2 2(2 2) 1 0x a x a+ - + - =，
2 2Δ(2 2) 4 1 8 8 0a a a= - - - = - + >，解得 1a<，
设 $1 1 2 2, , ,A x y B x y, 21 2 1 22 2 , 1x x a x x a\ + = - = -$，
则 $221 2 1 21 1 4AB x x x x= +$ × + -$2 22 (2 2 ) 4 1a a=$ × - - -$2=$，
解得 $34a=$