2014_上海卷 (2014·文)
（21）【2014年上海，文 21,14 分】如图，某公司要在 $A , B$ 两地连线
上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ，其中 $D$ 为顶端，$A C$ 长 35 米，$C B$ 长 80 米．设点 $A , B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。
①设计中 $C D$ 是铅垂方向．若要求 $\alpha \geq 2 \beta$ ，问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？
（2）施工完成后，$C D$ 与铅垂方向有偏差．现在实测得 $\alpha=38.12^{\circ}, \beta=18.45^{\circ}$ ，求 $C D$ 的长（结果精确到 0.01 米）。
解：（1）设 $C D$ 的长为 $x$ 米，则 $\tan \alpha=\frac{x}{35}, \tan \beta=\frac{x}{80}, \because \frac{\pi}{2}>\alpha \geq 2 \beta>0$ ， $\therefore \tan \alpha \geq \tan 2 \beta, \quad \therefore \tan \alpha \geq \frac{2 \tan \beta}{1-\tan ^{2} \beta}$,
$\therefore \frac{x}{35} \geq \frac{2 \frac{x}{80}}{1-\frac{x^{2}}{6400}}=\frac{160 x}{6400-x^{2}}$ ，解得 $0
26.93 米。 $\_\_\_\_$ 14分