（19）（本小题满分 12 分） 如图，长方体 A B C…——2012 高考数学第 19 题答案解析

［解析］
（I）因底面是正方形，故 $B_{1} D_{1} \perp A_{1} C_{1}$ ，又侧棱垂直底面，可得 $A A_{1} \perp B_{1} D_{1}$ ，而 $A A_{1} \cap A_{1} C_{1}=A_{1}$ ，所以 $B_{1} D_{1} \perp$ 面 $A A_{1} C_{1}$, 因 $B_{1} D_{1} / / B D$ ，所以 $B D \perp$ 面 $A A_{1} C_{1}$ ，又 $E C_{1} \subset$ 面 $A A_{1} C_{1}$ ，所以 $B D \perp E C_{1}$ ；
（II）法二：（利用勾股定理）因 $A B=2, A E=\sqrt{2}$ ，可得 $A O=\sqrt{2}, A_{1} C_{1}=2 \sqrt{2}$ ，设 $A_{1} A=x$ ，由 $O E \perp E C_{1}$ 得 $O E^{2}+E C_{1}{ }^{2}=O C_{1}{ }^{2}$ ，即 $4+(x-\sqrt{2})^{2}+8=x^{2}+2$ ，解得 $x=3 \sqrt{2}$ ，即 $A A_{1}$的长为 $3 \sqrt{2}$ 。

法二：（利用三角形相似）在矩形 $A C C_{1} A_{1}$ 中，$O E \perp E C_{1} \Rightarrow \triangle O A E \square \triangle E A_{1} C_{1}$ 得：

$$ \frac{A E}{A O}=\frac{A_{1} C_{1}}{E A_{1}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{A A_{1}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow A A_{1}=3 \sqrt{2} $$

［考点定位］考查线线垂直关系的证明，考查相似三角形或是几何长度的有关计算。

如图，$F_{1} F_{2}$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$B$ 是直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点，$\angle F_{1} A F_{2}=60^{\circ}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率；
（II）已知 $\triangle A F_{1} B$ 的面积为 $40 \sqrt{3}$ ，求 $a, b$ 的值．

［解析］（I）由题 $\angle F_{1} A F_{2}=60^{\circ}$ ，则 $\frac{O F_{2}}{A F_{2}}=\frac{c}{a}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$ ，即椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ 。
（II）法一：因 $\triangle A F_{1} B$ 的面积为 $40 \sqrt{3}$ ，设 $B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ ，又面积公式
$S=\frac{1}{2} \times 2 c \times\left(y_{A}-y_{B}\right)=c \times\left(y_{A}-y_{B}\right)=40 \sqrt{3}$ ，又直线 $A B: y=-\sqrt{3}(x-c)$ ，
又由（I）知 $c=\frac{1}{2} a, b^{2}=\frac{3}{4} a^{2}$ ，联立方程可得 $b^{2} x^{2}+3 a^{2}(x-c)^{2}=a^{2} \cdot b^{2}$ ，整理得
$\frac{3}{4} a^{2} x^{2}+3 a^{2}\left(x-\frac{1}{2} a\right)^{2}=a^{2} \cdot \frac{3}{4} a^{2}$ ，解得 $x_{B}=\frac{4 a}{5}, y_{B}=-\frac{3 \sqrt{3} a}{10}$ ，所以
$\frac{a}{2} \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a+\frac{3 \sqrt{3}}{10} a\right)=40 \sqrt{3}$ ，解得 $a=10, b=5 \sqrt{3}$ 。
法二：设 $\left|B F_{2}\right|=m$ ；则 $\left|B F_{1}\right|=2 a-m$ ，则在 $\Delta B F_{1} F_{2}$ 中，由余弦定理可得
$\left|B F_{1}\right|^{2}=\left|B F_{2}\right|^{2}+\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}-2\left|B F_{2}\right| \times\left|F_{1} F_{2}\right| \times \cos 120^{\circ}$,
即 $(2 a-m)^{2}=m^{2}+a^{2}+a m \Leftrightarrow m=\frac{3}{5} a$ 。
又 $\triangle A F_{1} B$ 面积 $S=\frac{1}{2} \times\left|F_{2} F_{1}\right| \times|A B| \times \sin 60^{\circ} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \times a \times\left(a+\frac{3}{5} a\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}=40 \sqrt{3}$ ，
解得 $a=10, c=5, b=5 \sqrt{3}$ 。
［考点定位］考查椭圆离心率和方程，考查直线与椭圆的位置关系，焦点三角形的面积。