（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析。

## 【解析】

试题分析：（I）因为 $P D=P G$ ，所以 $\angle P D C=\angle P G D$ ．由于 $P D$ 为切线，故 $\angle P D A=\angle D B A$ ，又由于 $\angle P G D=\angle E G A$ ，故 $\angle D B A=\angle E G A$ ，所以 $\angle D B A+\angle B A D=\angle F G A+\angle B A D$ 以 $\angle B D A=\angle P F A$ ．由于 $A F$ 垂直 $E P$ ，所以 $\angle P F A=90^{\circ}$ ，于是 $\angle B D A=90^{\circ}$ ，故 $A B$ 是直径（1）主接 $B C, D C$ 出于 $A B$ 是直径，故 $\angle B D A=\angle A C B=90^{\circ}$ ，在 Rt $\triangle B D A$ 与 Rt $\triangle A C B$ 中，$A B=B A, A C=B D$ ：从而 Rt $\triangle B D A \leqq R t \triangle A C B$ ，于是 Rt $\triangle B D A$ 与 $\angle D A B=\angle C B A$ ．又因为 $\angle D C B=\angle D A B$ ，所以 $\angle D C B=\angle C B A$ ，故 $D C / / A B$ ．由于 $E D$ 是直径，即可得出结论．

试题解析：（I）因为 $P D=P G$ ，所以 $\angle P D G=\angle P G D$ ．
由于 $P D$ 为切线，故 $\angle P D A=\angle D B A$ ，又由于 $\angle P G D=\angle E G A$ ，故 $\angle D B A=\angle E G A$ ，所以 $\angle D B A+\angle B A D=\angle E G A+\angle B A D$ ，从而 $\angle B D A=\angle P F A$ ．

由于 $A F$ 垂直 $E P$ ，所以 $\angle P F A=90^{\circ}$ ，于是 $\angle B D A=00^{\circ}$ ，故 $A B$ 是直径。
（II）连接 $B C, D C$ ．

由于 $A B$ 是直径，故 $\angle B D A=\angle A C B=90^{\circ}$ ，
在 Rt $\triangle B D A$ 与 Rt $\triangle A C B$ 中，$A B=B A, A C=B D$ ，
从而 Rt $\triangle B D A \leqq R t \triangle A C B$ ，于是 Rt $\triangle B D A$ 与 $\angle D A D=\angle C B A$ ．
又因为 $\angle D C B=\angle D A B$ ，所以 $\angle D C B=\angle C B A$ ，故 $D C / / A B$ ．
由于 $E D$ 是直径，由（ I ）得 $E D=A B$ ．
考点：1．圆周角定理；2．与圆有关的比例线段．