【答案】①$\frac{3}{8} h, \frac{3 \sqrt{41}}{8}$ 千米；（2）不超过了 3 千米．
【解析】（1）根据条件知 $t_{1}=\frac{3}{8}$ ，设此时甲到达 A 点，并连接 $A P$ ，如图所示，则 $O A=5 \times \frac{3}{8}=\frac{15}{8}$ ，
所以在 $\triangle O A P$ 中，
由余弦定理得
$f\left(t_{1}\right)=A P=\sqrt{O A^{2}+O P^{2}-2 O A \cdot O P \cdot \cos \angle A O P}=\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^{2}+9-\frac{45}{4} \cdot \frac{3}{5}}=\frac{3 \sqrt{41}}{8}$（千米
（2）可求得 $t_{2}=\frac{7}{8}$ ，设 $t$ 小时后，且 $\frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8}$ ，甲到达了 B 点，乙到达了 C 点，如图所示
所以 $B Q=5-5 t, C Q=7-8 t$ ，
所以在 $\triangle B C Q$ 中，
由余弦定理 $f(t)=B C=\sqrt{(5-5 t)^{2}+(7-8 t)^{2}-2(5-5 t)(7-8 t) \cdot \frac{4}{5}}=\sqrt{25 t^{2}-42 t+18}$ ，
所以 $f(t)=\sqrt{25 t^{2}-42 t+18}, \frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8}$ ，
设 $g(t)=25 t^{2}-42 t+18, \frac{3}{8} \leq t \leq \frac{7}{8}$ ，
因为函数 $g(t)$ 的对称轴为 $t=\frac{21}{25} \in\left[\frac{3}{8}, \frac{7}{8}\right]$ ，且 $g\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{369}{64}, g\left(\frac{7}{8}\right)=\frac{25}{64}$ ，
所以 $g(t)$ 得最大值为 $\frac{369}{64}$ ，此时 $f(t)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{41}}{8}<3$ ，
所以 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ 上得最大值不超过3．
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域．
