（本小题满分 14 分） 已知 α ( π 2 , π )…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14分）（2014•江苏）已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值；
（2）求 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值．

考点 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
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专题 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
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分析（1）通过已知条件求出 $\cos \alpha$ ，然后利用两角和的正弦函数求 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值；

（2）求出 $\cos 2 \alpha$ ，然后利用两角差的余弦函数求 $\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值．
解答 解：$\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} . \therefore \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
① $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha+\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} \times\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ；
$\therefore \sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值为：$-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．
②$\because \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} . \therefore \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=\frac{3}{5}, \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{4}{5}$
$\therefore \cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)=\cos \frac{5 \pi}{6} \cos 2 \alpha+\sin \frac{5 \pi}{6} \sin 2 \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \times\left(-\frac{4}{5}\right)=-$
$\frac{4+3 \sqrt{3}}{10}$ ．
$\cos \left(\frac{5 \pi}{6}-2 \alpha\right)$ 的值为：$-\frac{4+3 \sqrt{3}}{10}$.
点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．