【解答】
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的坚直截面图如图所示：谷底 $O$ 在水平线 $M N$ 上、桥 $A B$ 与 $M N$平行，$O O^{\prime}$ 为铅垂线（ $O^{\prime}$ 在 $A B$ 上）．经测量，左侧曲线 $A O$ 上任一点 $D$ 到 $M N$ 的距离 $h_{1}$（米）与 $D$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离 $a$ （米）之间满足关系式 $h_{1}=\frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线 $B O$ 上任一点 $F$ 到 $M N$ 的距离 $h_{2}$（米）与 $F$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离 $b$（米）之间满足关系式 $h_{2}=-\frac{1}{800} b^{3}+6 b$ ．已知点 $B$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离为 40 米．
（1）求桥 $A B$ 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{\prime}$ 的桥墩 $C D$ 和 $E F$ ，且 $C E$ 为 80 米，其中 $C, E$ 在 $A B$ 上（不包括端点）．桥墩 $E F$ 每米造价 $k$（万元）、桥墩 $C D$ 每米造价 $\frac{3}{2} k$（万元）（ $k>0$ ）。问 $O^{\prime} E$ 为多少米时，桥墩 $C D$ 与 $E F$ 的总造价最低？
【答案】（1） 120 米②$O^{\prime} E=20$ 米
## 【解析】
## 【分析】
（1）根据 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 高度一致列方程求得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果．
【详解】①由题意得 $\frac{1}{40}\left|O^{\prime} A\right|^{2}=-\frac{1}{800} \times 40^{3}+6 \times 40 \therefore\left|O^{\prime} A\right|=80$
$\therefore|A B|=\left|O^{\prime} A\right|+\left|O^{\prime} B\right|=80+40=120$ 米
②设总造价为 $f(x)$ 万元，$\left|O^{\prime} O\right|=\frac{1}{40} \times 80^{2}=160$ ，设 $\left|O^{\prime} E\right|=x$ ，
$f(x)=k\left(160+\frac{1}{800} x^{3}-6 x\right)+\frac{3}{2} k\left[160-\frac{1}{40}(80-x)^{2}\right],(0$\therefore f(x)=k\left(160+\frac{1}{800} x^{3}-\frac{3}{80} x^{2}\right), \therefore f^{\prime}(x)=k\left(\frac{3}{800} x^{2}-\frac{6}{80} x\right)=0 \therefore x=20$（0舍去）
当 $00$ ，因此当 $x=20$ 时，$f(x)$ 取最小值，答：当 $O^{\prime} E=20$ 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低．
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．
