（5分）设点 P 在曲线 y = 1 2 e ^ x 上，…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于函数 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 与函数 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 互为反函数，图象关于 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 对称，要求 $|P Q|$ 的最小值，只要求出函数 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 上的点 $P\left(x, \frac{1}{2} e^{x}\right)$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $\mathrm{d}=\frac{\left|\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{x}\right|}{\sqrt{2}}$ 的最小值，
设 $g(x)=\frac{1}{2} e^{x}-x$ ，利用导数可求函数 $g(x)$ 的单调性，进而可求 $g(x)$ 的最小值，即可求．

【解答】解：∵ 函数 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 与函数 $y=\ln (2 x)$ 互为反函数，图象关于 $y=x$ 对称，
函数 $y=\frac{1}{2} e^{x}$ 上的点 $P\left(x, \frac{1}{2} e^{x}\right)$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $d=\frac{\left|\frac{1}{2} e^{x}-x\right|}{\sqrt{2}}$ ，
设 $g(x)=\frac{1}{2} e^{x}-x(x>0)$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1$ ，
由 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1 \geq 0$ 可得 $x \geq \ln 2$ ，

由 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} e^{x}-1<0$ 可得 $0∴ 函数 $g(x)$ 在 $(0, \ln 2)$ 单调递减，在 $[\ln 2,+\infty)$ 单调递增，
∴ 当 $\mathrm{x}=\ln 2$ 时，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})_{\min }=1-\ln 2$ ，
$\mathrm{d}_{\min }=\frac{1-\ln 2}{\sqrt{2}}$ ，
由图象关于 $y=x$ 对称得：$|P Q|$ 最小值为 $2 d_{\min }=\sqrt{2}(1-\ln 2)$ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好

## 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．