2016_新课标II卷
11．（5分）已知 $| \mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { \Gamma } | \mathsf { F } _ { 2 }$ 是双曲线E： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1$ 的左，右焦点，点M在E上， ${ \mathsf { M } } { \mathsf { F } } _ { 1 }$ 与x轴垂直， $\sin \angle M F _ { 2 } F _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 }$ ，则E的离心率为（ ）A $\sqrt { 2 }$ B $\frac { 3 } { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由条件 ${ \bf \cdot M F } _ { 1 } \bot { \bf M F } _ { 2 }$ $\sin \angle M F _ { 2 } F _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 }$ ，列出关系式，从而可求离心率
【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则 $M F _ { 1 } \mid \frac { - b ^ { 2 } } { a } , \vert M F _ { 2 } \mid = \sqrt { 4 c ^ { 2 } + ( \frac { b ^ { 2 } } { a } ) ^ { 2 } } ,$
b² ∴sin∠MF F = ∴ a 1 4 9 3 4c 2 b 2 3 a
可得： $2 \mathsf { b } ^ { 4 } = \mathsf { a } ^ { 2 } \mathsf { c } ^ { 2 }$ ，即 ${ \sqrt { 2 } } b ^ { 2 } = a c$ ，又 $c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$
可得 ${ \sqrt { 2 } } \mathbf { e } ^ { 2 } - \mathbf { e } ^ { \phantom { 2 } } - { \sqrt { 2 } } \mathbf { = } 0$
$\mathsf { e } > 1$ ，解得 $\scriptstyle \mathtt { e } = { \sqrt { \hat { 2 } } }$
故选：A
【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题