（5分）已知函数 f(x)=a x^ 3 -3 x^ 2…——2014 高考数学第 12 题答案解析

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-6 x=3 x(a x-2), f(0)=1$ ；分类讨论确定

函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：$\because f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-6 x=3 x(a x-2), f(0)=1$ ；
①当 $a=0$ 时，$f(x)=-3 x^{2}+1$ 有两个零点，不成立；
②当 $a>0$ 时，$f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上有零点，故不成立；
（3）当 $a<0$ 时，$f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有一个零点；
故 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上没有零点；
而当 $x=\frac{2}{a}$ 时，$f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上取得最小值；
故 $f\left(\frac{2}{a}\right)=\frac{8}{a^{2}}-3 \cdot \frac{4}{a^{2}}+1>0$ ；
故 $\mathrm{a}<-2$ ；
综上所述，
实数 a 的取值范围是 $(-\infty,-2)$ ；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．