（5分）双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b…_2016北京高考数学第13题答案解析 | 高考真题检索

Question

13．（5分）双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 $\mathtt { a } =$ 2

Accepted Answer

2

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可

【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 $\forall = \pm \times$

即 a=b，

$\because$ 正方形 OABC 的边长为 2，

$\therefore O B = 2 { \sqrt { 2 } }$ ，即 $\mathsf { c } { = } 2 \sqrt { 2 }$

则 $\mathtt { a } ^ { 2 } + \mathtt { b } ^ { 2 } = \mathtt { c } ^ { 2 } = 8$

即 ${ 2 a ^ { 2 } } { = 8 }$

则 $\scriptstyle \mathsf { a } ^ { 2 } = 4 , \widehat { \mathsf { a } } = 2$

故答案为：2

【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键

（5分）双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b…——2016 高考数学第 13 题答案解析

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