（5分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴， y 轴交于…——2018 高考数学第 8 题答案解析

【考点】 J9：直线与圆的位置关系．

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出 $\mathrm{A}(-2,0), \mathrm{B}(0,-2),|\mathrm{AB}|=2 \sqrt{2}$ ，设 $\mathrm{P}(2+\sqrt{2} \cos \theta$ ， $\sqrt{2} \sin \theta)$ ，点 $P$ 到直线 $x+y+2=0$ 的距离：$d=\frac{|2+\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta+2|}{\sqrt{2}}= \frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}} \in[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$ ，由此能求出 $\triangle A B P$ 面积的取值范围。
【解答】解：∵ 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A, B$ 两点，
∴ 令 $x=0$ ，得 $y=-2$ ，令 $y=0$ ，得 $x=-2$ ，
$\therefore A(-2,0), B(0,-2),|A B|=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$ ，
∵ 点 P 在圆 $(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=2$ 上，∴ 设 $\mathrm{P}(2+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ ，
∴ 点 $P$ 到直线 $x+y+2=0$ 的距离：
$d=\frac{|2+\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}}$,
$\because \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \in[-1,1], \quad \therefore d=\frac{\left|2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+4\right|}{\sqrt{2}} \in[\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{ABP}$ 面积的取值范围是：
$\left[\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}, ~ \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}\right]=[2,6]$ ．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．