2012_退役省自主命题 (2012·理)
16．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\mathrm{kn}$（其中 $\mathrm{k} \in N$ ），且 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最大值为 8 ．
（1）确定常数 k ，求 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ；（2）求数列 $\left\{\frac{9-2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。
(1) $a_{n}=\frac{9}{2}-n$; (2) $T_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】：（1）$a_{n}=\frac{9}{2}-n$②$T_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$
【解析】：（1）当 $n=k \in N_{*}$ 时，$S_{n}=-\frac{1}{2} n^{2}+\mathrm{kn}$ 取最大值，即 $8=S_{k}=-\frac{1}{2} k^{2}+k^{2}=\frac{1}{2} k^{2}$ ，故 $k^{2}=16$ ，因此 $k=4$ ，
从而 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{9}{2}-n(n \geq 2)$ ．又 $a_{1}=S_{1}=\frac{7}{2}$ ，所以 $a_{n}=\frac{9}{2}-n$ 。
（2）因为 $b_{n}=\frac{9-2 a_{n}}{2^{n}}=\frac{n}{2^{n-1}}, T_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-2}}+\frac{n}{2^{n-1}}$ ，
所以 $T_{n}=2 T_{n}-T_{n}=2+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{n}{2^{n-1}}=4-\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{n}{2^{n-1}}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$
【考点定位】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用．利用 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}S_{1}(n=1), \\ S_{n}-S_{n-1}\end{array}\right.$ 来实现 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ 不能用来求解首项 $a_{1}$ ，首项 $a_{1}$ 一般通过 $a_{1}=S_{1}$ 来求解。运用错位相减法求数列的前 $n$ 项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列。