12. 如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆…——2023 高考物理第 25 题答案解析

【答案】（1）小球速度大小 $\frac { \sqrt { 2 g l } } { 2 }$ ，圆盘速度大小 $\frac { \sqrt { 2 g l } } { 2 }$ ；（2）l；（3）4

【解析】

【详解】（1）过程1：小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律

$$ m g l = \frac {1}{2} m v _ {0} ^ {2} $$

解得

$$ v _ {0} = \sqrt {2 g l} $$

过程2：小球以 $\sqrt { 2 g l }$ 与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有

$$ \frac {1}{2} m v _ {0} ^ {2} = \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} + \frac {1}{2} M v _ {1} ^ {\prime 2} $$

$$ m v _ {0} = m v _ {1} + M v _ {1} ^ {\prime} $$

解得

$$ v _ {1} = \frac {m - M}{m + M} v _ {0} = - \frac {\sqrt {2 g l}}{2} $$

$$ v _ {1} ^ {\prime} = \frac {1}{2} v _ {0} = \frac {\sqrt {2 g l}}{2} $$

即小球碰后速度大小 $\frac { \sqrt { 2 g l } } { 2 }$ ，方向竖直向上，圆盘速度大小为 $\frac { \sqrt { 2 g l } } { 2 }$ ，方向竖直向下；

（2）第一次碰后，小球做竖直上抛运动，圆盘摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，即

$$ v _ {1} + g t = v _ {1} ^ {\prime} $$

解得

$$ t = \frac {\dot {v _ {1}} - v _ {1}}{g} = \frac {v _ {0}}{g} $$

根据运动学公式得最大距离为

$$ d _ {\max} = x _ {\text {盘}} - x _ {\text {球}} = v _ {1} ^ {\prime} t - \left(v _ {1} t - \frac {1}{2} g t ^ {2}\right) = \frac {v _ {0} ^ {2}}{2 g} = l $$

（3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有

$$ x _ {\mathrm{盘} 1} = x _ {\mathrm{球} 1} $$

即

$$ v _ {1} t _ {1} + \frac {1}{2} g t _ {1} ^ {2} = v _ {1} ^ {\prime} t _ {1} $$

解得

$$ t _ {1} = \frac {2 v _ {0}}{g} $$

此时小球的速度

$$ v _ {2} = v _ {1} + g t _ {1} = \frac {3}{2} v _ {0} $$

圆盘的速度仍为 $\nu _ { 1 } ^ { \cdot }$ ，这段时间内圆盘下降的位移

$$ x _ {\text {盘} 1} = v _ {1} ^ {\prime} t _ {1} = \frac {v _ {0} ^ {2}}{g} = 2 l $$

之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒

$$ m v _ {2} + M \dot {v _ {1}} ^ {\prime} = m \dot {v _ {2}} ^ {\prime} + M \dot {v _ {2}} ^ {\prime \prime} $$

根据能量守恒

$$ \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {2} + \frac {1}{2} M v _ {1} ^ {\prime 2} = \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {\prime 2} + \frac {1}{2} M v _ {2} ^ {\prime \prime 2} $$

联立解得

$$ v _ {2} ^ {\prime} = 0 $$

$$ \boldsymbol {v} _ {2} ^ {"} = \boldsymbol {v} _ {0} $$

同理可得当位移相等时

$$ x _ {\mathrm{盘} 2} = x _ {\mathrm{球} 2} $$

$$ v _ {2} ^ {\prime \prime} t _ {2} = \frac {1}{2} g t _ {2} ^ {2} $$

解得

$$ t _ {2} = \frac {2 v _ {0}}{g} $$

圆盘向下运动

$$ x _ {\text {盘} 2} = v _ {2} ^ {"} t _ {2} = \frac {2 v _ {0} ^ {2}}{g} = 4 l $$

此时圆盘距下端关口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度

$$ v _ {3} = g t _ {2} = 2 v _ {0} $$

有动量守恒

$$ m v _ {3} + M v _ {2} ^ {\prime \prime} = m v _ {3} ^ {\prime} + M v _ {3} ^ {\prime \prime} $$

机械能守恒

$$ \frac {1}{2} m v _ {3} ^ {2} + \frac {1}{2} M v _ {2} ^ {\prime 2} = \frac {1}{2} m v _ {3} ^ {\prime 2} + \frac {1}{2} M v _ {3} ^ {\prime 2} $$

得碰后小球速度为

$$ v _ {3} ^ {\prime} = \frac {v _ {0}}{2} $$

圆盘速度

$$ v _ {3} ^ {\prime \prime} = \frac {3 v _ {0}}{2} $$

当二者即将四次碰撞时

$$ x _ {\text {盘} 3} = x _ {\text {球} 3} $$

即

$$ v _ {3} ^ {\prime \prime} t _ {3} = v _ {3} ^ {\prime} t _ {3} + \frac {1}{2} g t _ {3} ^ {2} $$

得

$$ t _ {3} = \frac {2 v _ {0}}{g} = t _ {1} = t _ {2} $$

在这段时间内，圆盘向下移动

$$ x _ {\text {盘} 3} = v _ {3} ^ {\prime \prime} t _ {3} = \frac {3 v _ {0} ^ {2}}{g} = 6 l $$

此时圆盘距离下端管口长度为

$$ 2 0 l - 1 l - 2 l - 4 l - 6 l = 7 l $$

此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加2l，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动

$$ x _ {\text {盘} 4} = 8 l $$

则第四次碰撞后落出管口外，因此圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次。