（5分）设函数 f(x)=sin (ω x+ )+cos…——2011 高考数学第 11 题答案解析

【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由 $y=A \sin (\omega x+\phi)$ 的部分图象确定其解析式。

【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与 $\omega$ 的关系确定出 $\omega$ 的值，根据函数的偶函数性质确定出 $\phi$ 的值，再对各个选项进行考查篮选

【解答】解：由于 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)+\cos (\omega x+\varphi)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\phi+\frac{\pi}{4}\right)$ ，由于该函数的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}$ ，得出 $\omega=2$ ，又根据 $f(-x)=f(x)$ ，得 $\phi+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)$ ，以及 $|\phi|<\frac{\pi}{2}$ ，得出 $\phi=\frac{\pi}{4}$

因此，$f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2} \cos 2 x$ ，
若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $2 x \in(0, \pi)$ ，从而 $f(x)$ 在（ $0, \frac{\pi}{2}$ ）单调递减，若 $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ，则 $2 x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ ，

该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识 ，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握。属于三角中的基本题型。