【解答】
（14分）（2013•广东）设数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathrm { n } }$ ，已知 $\mathrm { l a } _ { 1 } { = } 1$ $\frac { 2 S _ { n } } { n } = a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 3 } n ^ { 2 } - n - \frac { 2 } { 3 } , n \in \mathbf { N } ^ { * }$
（1）求 ${ \bf a } _ { 2 }$ 的值；
（2）求数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 $\frac { 1 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 } { a _ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { a _ { n } } < \frac { 7 } { 4 } .$
考点： 数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
专题： 等差数列与等比数列
分析：
（1）利用已知a<sub>1</sub>=1， $\frac { 2 S _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { n } } \mathrm { = a _ { n } + 1 } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { n } ^ { 2 } - \mathrm { n } - \frac { 2 } { 3 } \mathrm { , n } \mathrm { \in N } ^ { \ast }$ ．令n=1即可求出；
（2）利用 $\mathrm { a _ { n } } \mathrm { = } \mathrm { S _ { n } } - \mathrm { S _ { n - 1 } } ( \mathrm { n } { \geq } 2 )$ 即可得到 $\mathrm { \Delta \ n a _ { n + 1 } = ~ ( n + 1 ~ ) ~ \ a _ { n } + n ~ ( \ n + 1 ~ ) ~ }$ ，可化为 $\frac { a _ { n + 1 } } { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { n } + 1$ $\frac { a _ { n + 1 } } { n + 1 } - \frac { a _ { n } } { n } = 1$ ．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用②，通过放缩法 $\frac { 1 } { a _ { n } } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } < \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( n } = \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { n } ( n \geq 2 )$ 即可证明
解答：
解：（1）当n=1时， $\frac { 2 \mathbb { S } _ { 1 } } { 1 } = 2 \mathsf { a } _ { 1 } = \mathsf { a } _ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } - 1 - \frac { 2 } { 3 } ,$ ，解得 $\scriptstyle \mathbf { a } _ { 2 } = 4$
> ② $2 S _ { n } = n a _ { n + 1 } - \frac { 1 } { 3 } n ^ { 3 } - n ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } n \textcircled { 1 }$
当n≥2时， $2 S _ { n - 1 } = ( n - 1 ) { \mathsf { a } } _ { \mathsf { n } } - { \frac { 1 } { 3 } } ( { \mathsf { n } } - 1 ) { \mathsf { \Omega } } ^ { 3 } - { \mathsf { \Omega } } ( { \mathsf { n } } - 1 ) { \mathsf { \Omega } } ^ { 2 } - { \frac { 2 } { 3 } } ( { \mathsf { n } } - 1 )$ ②
①﹣②得 $2 a _ { n } = n a _ { n + 1 } - ( n - 1 ) a _ { n } - n ^ { 2 } - n$
整理得 $\mathrm { \ n a _ { n + 1 } } \mathrm { = \ ( n { + } 1 ) \ a _ { n } { + } n \ ( n { + } 1 ) }$ ，即 $\frac { a _ { n + 1 } } { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { n } + 1 , \frac { a _ { n + 1 } } { n + 1 } - \frac { a _ { n } } { n } = 1$
当n=1时， $\frac { \bar { \bf { a } } _ { 2 } } { 2 } - \frac { \bar { \bf { a } } _ { 1 } } { 1 } = 2 - 1 = 1$
所以数列 $\{ \frac { \bar { \bf { a } } _ { \bar { \bf { n } } } } { { \bf { n } } } \}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列
所以 $\frac { a _ { n } } { n } = n ,$ 即 $\mathtt { a _ { n } } \mathtt { = n } ^ { 2 }$
所以数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式为 $\mathtt { a _ { n } } \mathrm { = n } ^ { 2 } , \mathtt { n } \in \mathrm { N } ^ { * }$
（3）因为 $\frac { 1 } { a _ { n } } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } < \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( n } = \frac { 1 } { n - 1 } - \frac { 1 } { n } ( n \geq 2 )$
所以 $\frac { 1 } { { \mathfrak a } _ { 1 } } + \frac { 1 } { { \mathfrak a } _ { 2 } } + \dots + \frac { 1 } { { \mathfrak a } _ { \mathfrak n } } = \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \dots + \frac { 1 } { { \mathfrak n } ^ { 2 } } < 1 + \frac { 1 } { 4 } + \ ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } ) \ + \ ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } ) \ + \dots + \ ( \frac { 1 } { { \mathfrak n } - 1 } - \frac { 1 } { \mathfrak n } ) \ .$
$= 1 + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { n } = \frac { 7 } { 4 } - \frac { 1 } { n } < \frac { 7 } { 4 }$
点评：
熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系 $\mathrm { a _ { n } } \mathrm { = } \mathrm { S _ { n } } - \mathrm { S _ { n - 1 } } ( \mathrm { n } { \geq } 2 )$ 、裂项求和及其放缩法等是解题的关键