17．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi), x \in R$（其中
$\left.\mathrm{A}>0, ~ \omega>0, ~ 0<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ ．
（I）求 f （ x ）的解析式；
（II）当 $\mathrm{x} \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的值域。
（12分）（2009•陕西）已知函数 f(x)=A sin…——2009 高考数学第 17 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域。
【专题】计算题．
【分析】①根据最低点 M 可求得 A ；由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得 $\omega$ ；进而把点 $M$ 代入 $f(x)$ 即可求得 $\phi$ ，把 $A, \omega, \phi$ 代入 $f(x)$ 即可得到函数的解析式。
②根据 $x$ 的范围进而可确定当 $2 x+\frac{\pi}{6}$ 的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．
【解答】解：①由最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2\right)$ 得 $A=2$ 。
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ 得 $\frac{\mathrm{T}}{2}=\frac{\pi}{2}$ ，
即 $\mathrm{T}=\pi, ~ \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{~T}}=\frac{2 \pi}{\pi}=2$
由点M $\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ 在图象上的
$2 \sin \left(2 \times \frac{2 \pi}{3}+\phi\right)=-2$ ，即 $\sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phi\right)=-1$
故 $\frac{4 \pi}{3}+\phi=2 k \pi-\frac{\pi}{2}, k \in Z \therefore \phi=2 k \pi-\frac{11 \pi}{6}$
又 $\phi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \phi=\frac{\pi}{6}$ ，故 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$
②$\because_{x} \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right], \therefore 2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}\right]$
当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ，即 $x=\frac{\pi}{6}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 2 ；当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}$
即 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 -1 ，
故 $f(x)$ 的值域为 $[-1,2]$
【点评】本题主要考查本题主要考查了由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题．属基础题．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_退役省自主命题 (2009·理) · 第 17 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验