2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi), x \in R$（其中
$\left.\mathrm{A}>0, ~ \omega>0, ~ 0<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ ．
（I）求 f （ x ）的解析式；
（II）当 $\mathrm{x} \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的值域。

Accepted Answer

【考点】由 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域。 【专题】计算题． 【分析】①根据最低点 M 可求得 A ；由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得 $\omega$ ；进而把点 $M$ 代入 $f(x)$ 即可求得 $\phi$ ，把 $A, \omega, \phi$ 代入 $f(x)$ 即可得到函数的解析式。 ②根据 $x$ 的范围进而可确定当 $2 x+\frac{\pi}{6}$ 的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域． 【解答】解：①由最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3}, ~-2ight)$ 得 $A=2$ 。 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ 得 $\frac{\mathrm{T}}{2}=\frac{\pi}{2}$ ， 即 $\mathrm{T}=\pi, ~ \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{~T}}=\frac{2 \pi}{\pi}=2$ 由点M $\left(\frac{2 \pi}{3},-2ight)$ 在图象上的 $2 \sin \left(2 	imes \frac{2 \pi}{3}+\phiight)=-2$ ，即 $\sin \left(\frac{4 \pi}{3}+\phiight)=-1$ 故 $\frac{4 \pi}{3}+\phi=2 k \pi-\frac{\pi}{2}, k \in Z 	herefore \phi=2 k \pi-\frac{11 \pi}{6}$ 又 $\phi \in\left(0, \frac{\pi}{2}ight), 	herefore \phi=\frac{\pi}{6}$ ，故 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}ight)$ ②$\because_{x} \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}ight], 	herefore 2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}ight]$ 当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ，即 $x=\frac{\pi}{6}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 2 ；当 $2 x+\frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}$ 即 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 -1 ， 故 $f(x)$ 的值域为 $[-1,2]$ 【点评】本题主要考查本题主…

2009 高考数学第 17 题答案解析

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