曲线 y = e ^ x x + 1 在点 ( 1 , e…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.

【详解】设曲线 $y = \frac { \mathsf { e } ^ { x } } { x + 1 }$ 在点 $\left( 1 , \frac { \mathtt { e } } { 2 } \right)$ 处的切线方程为 $y - { \frac { \mathtt { e } } { 2 } } = k { \big ( } x - 1 { \big ) }$ 因为 $y = \frac { \mathsf { e } ^ { x } } { x + 1 }$ 所以 $y ^ { ' } = { \frac { \mathbf { e } ^ { x } \left( x + 1 \right) - \mathbf { e } ^ { x } } { \left( x + 1 \right) ^ { 2 } } } = { \frac { x \mathbf { e } ^ { x } } { \left( x + 1 \right) ^ { 2 } } }$

所以 $k = y ^ { ' } \mid _ { x = 1 } = \frac { \mathbf { e } } { 4 }$

所以 $y - { \frac { \mathtt { e } } { 2 } } = { \frac { \mathtt { e } } { 4 } } { \big ( } x - 1 { \big ) }$

所以曲线 $y = \frac { \mathsf { e } ^ { x } } { x + 1 }$ 在点 $\left( 1 , { \frac { \mathtt { e } } { 2 } } \right)$ 处的切线方程为 $y = \frac { \mathtt { e } } { 4 } x + \frac { \mathtt { e } } { 4 }$

故选：C