【答案】（1） $S _ { n } = { \frac { 3 n ^ { 2 } - 5 n } { 2 } } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$
> ② $1 < d \leq 2$
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出 $d$ ，再求 $S _ { n }$ ；
> ②由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 $d$ 的范围.
【小问1详解】
因为 $S _ { 4 } - 2 a _ { 2 } a _ { 3 } + 6 = 0 , a _ { 1 } = - 1$
所以 $- 4 + 6 d - 2 { \left( - 1 + d \right) } { \left( - 1 + 2 d \right) } + 6 = 0$
所以 $d ^ { 2 } - 3 d = 0$ ，又 $d > 1$
所以 $d = 3$
所以 $a _ { n } = 3 n - 4$
所以 $S _ { n } = { \frac { \left( a _ { 1 } + a _ { n } \right) n } { 2 } } = { \frac { 3 n ^ { 2 } - 5 n } { 2 } }$
【小问2详解】
因为 $a _ { n } + c _ { n } , a _ { n + 1 } + 4 c _ { n } , a _ { n + 2 } + 1 5 c _ { n }$ 成等比数列，
所以 $\bigl ( a _ { n + 1 } + 4 c _ { n } \bigr ) ^ { 2 } = \bigl ( a _ { n } + c _ { n } \bigr ) \bigl ( a _ { n + 2 } + 1 5 c _ { n } \bigr )$
$$
\left(n d - 1 + 4 c _ {n}\right) ^ {2} = \left(- 1 + n d - d + c _ {n}\right) \left(- 1 + n d + d + 1 5 c _ {n}\right),
$$
$$
c _ {n} ^ {2} + (1 4 d - 8 n d + 8) c _ {n} + d ^ {2} = 0,
$$
由已知方程 $c _ { n } ^ { 2 } + ( 1 4 d - 8 n d + 8 ) c _ { n } + d ^ { 2 } = 0$ 的判别式大于等于0，
所以 $\Delta = \left( 1 4 d - 8 n d + 8 \right) ^ { 2 } - 4 d ^ { 2 } \geq 0$
所以 $\big ( 1 6 d - 8 n d + 8 \big ) \big ( 1 2 d - 8 n d + 8 \big ) \geq 0$ 对于任意的 $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ 恒成立，
所以 $[ ( n - 2 ) d - 1 ] [ ( 2 n - 3 ) d - 2 ] \geq 0$ 对于任意的 $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ 恒成立，
当n =1时， $\left[ \left( n - 2 \right) d - 1 \right] \left[ \left( 2 n - 3 \right) d - 2 \right] = \left( d + 1 \right) \left( d + 2 \right) \geq 0$
当n = 2时，由 $\big ( 2 d - 2 d - 1 \big ) \big ( 4 d - 3 d - 2 \big ) \geq 0$ ，可得 $d \leq 2$
当 $n \geq 3$ 时， $\Big [ \big ( n - 2 \big ) d - 1 \Big ] \Big [ \big ( 2 n - 3 \big ) d - 2 \Big ] > ( n - 3 ) ( 2 n - 5 ) \geq 0$
又 $d > 1$
所以 $1 < d \leq 2$