（12分）已知 a, b, c 分别为 A B C 三个内…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到 $\sin \left(\mathrm{A}-30^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$ ．即可求出 $A$ 的值；
（2）若 $\mathrm{a}=2$ ，由 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求得 $\mathrm{bc}=4$ ．①，再利用余弦定理可得 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=4$ ．②，结合（1）（2）求得 b 和 c 的值。
【解答】解：（1）由正弦定理得：$a \cos C+\sqrt{3} a \sin C-b-c=0$ ，
即 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\sqrt{3} \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}=\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}$
$\therefore \sin A \cos C+\sqrt{3} \sin A \sin C=\sin (A+C)+\sin C$ ，
即 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \mathrm{A}=1$
$\therefore \sin \left(A-30^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$ ．
$\therefore \mathrm{A}-30^{\circ}=30^{\circ}$
$\therefore \mathrm{A}=60^{\circ}$ ；
（2）若 $\mathrm{a}=2, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $=\frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{bc}=\sqrt{3}$ ，
$\therefore \mathrm{bc}=4$ ．（1）
再利用余弦定理可得：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A$

$=(b+c)^{2}-2 b c-b c=(b+c)^{2}-3 \times 4=4$ ，
$\therefore b+c=4$ ．（2）
结合（1）（2）求得 $\mathrm{b}=\mathrm{c}=2$ ．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．