【答案】① $\varphi = - \frac { \pi } { 3 }$
（2）条件①不能使函数f x( ) 存在；条件②或条件③可解得w=1， $\varphi = - \frac { \pi } { 6 }$
【解析】
【分析】（1）把x =0代入f x( ) 的解析式求出sinj，再由 $| \varphi | < \frac { \pi } { 2 }$ 即可求出j的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f x( ) 的解析式化简，根据f x( ) 在 $\left[ - \frac { \pi } { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 } \right]$ 上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出w的值；把w的值代入f x( )的解析式，由 $f { \Biggl ( } - { \frac { \pi } { 3 } } { \Biggr ) } = - 1 \operatorname { \bar { \times } } \mathbb { 1 } | \varphi | < { \frac { \pi } { 2 } }$ 即可求出的值；若选条件③：由f x( ) 的单调性可知f x( ) 在 $x = - { \frac { \pi } { 3 } }$ 处取得最小值-1，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同
【小问 1 详解】
因为 $f ( x ) = \sin \omega x \cos \varphi + \cos \omega x \sin \varphi , \omega > 0 , | \varphi | < { \frac { \pi } { 2 } }$
所以 $f ( 0 ) = \sin { \big ( } \omega \cdot 0 { \big ) } \cos \varphi + \cos { \big ( } \omega \cdot 0 { \big ) } \sin \varphi = \sin \varphi = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
因为 $\vert \varphi \vert < \frac { \pi } { 2 }$ ，所以 $\varphi = - \frac { \pi } { 3 }$
【小问2详解】
因为 $f ( x ) = \sin \omega x \cos \varphi + \cos \omega x \sin \varphi , \omega > 0 , | \varphi | < { \frac { \pi } { 2 } }$
所以 $f ( x ) = \sin { \big ( } \omega x + \varphi { \big ) } , \omega > 0 , | \varphi | < { \frac { \pi } { 2 } }$ ，所以f x( ) 的最大值为1，最小值为-1.
若选条件①：因为 $f ( x ) = \sin { \bigl ( } \omega x + \varphi { \bigr ) }$ 的最大值为1，最小值为-1，所以 $f \left( { \frac { \pi } { 3 } } \right) = { \sqrt { 2 } }$ 无解，故条件①不
能使函数f x( )存在；
若选条件②：因为f x( ) 在 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right]$ 上单调递增，且 $f { \Bigg ( } { \frac { 2 \pi } { 3 } } { \Bigg ) } = 1$ $f { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } = - 1$
所以 $\frac { T } { 2 } = \frac { 2 \pi } { 3 } - \left( - \frac { \pi } { 3 } \right) = \pi$ ,所以 $T = 2 \pi , \omega = \frac { 2 \pi } { T } = 1$
所以 $f ( x ) = \sin { \bigl ( } x + \varphi { \bigr ) }$
又因为 $f { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } = - 1$ ，所以 $\sin \left( - { \frac { \pi } { 3 } } + \varphi \right) = - 1$
所以 $- { \frac { \pi } { 3 } } + \varphi = - { \frac { \pi } { 2 } } + 2 k \pi , k \in Z$
所以 $\varphi = - \frac { \pi } { 6 } + 2 k \pi , k \in \mathsf { Z }$ ，因为| |<sub>j</sub> < $\frac { \pi } { 2 }$ ，所以 $\varphi = - \frac { \pi } { 6 }$
所以w=1， $\varphi = - \frac { \pi } { 6 }$
若选条件③：因为f x( ) 在 $\left[ - { \frac { \pi } { 3 } } , { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right]$ 上单调递增，在 $\left[ - { \frac { \pi } { 2 } } , - { \frac { \pi } { 3 } } \right]$ 上单调递减，
所以 f x( ) 在 $x = - { \frac { \pi } { 3 } }$ 处取得最小值-1，即 $f { \Bigg ( } - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } = - 1$
以下与条件②相同