2011_浙江卷 (2011·文)
15．（4分）（2011•浙江）若平面向量 $\alpha, \beta$ 满足 $|\alpha|=1,|\beta| \leq 1$ ，且以向量 $\alpha, \beta$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 的夹角 $\theta$ 的范围是 $\_\_\_\_$ $\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$ ．
$\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$ ，或 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角。
【解答】解：$\because \frac{1}{2}|\vec{\alpha}||\vec{\beta}| \sin \theta=\frac{1}{4}$
$\therefore \sin \theta=\frac{1}{2|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}$,
$\because|\vec{\alpha}|=1,|\vec{\beta}| \leq 1$,
$\therefore \sin \theta \geqslant \frac{1}{2}$,
$\because \theta \in[0, \pi]$
$\therefore \theta \in\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$ ，
故答案为：$\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$ ，或 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ ，
【点评】本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目。