已知 f (x) 为函数 y = cos ( 2 x +…——2023 高考数学第 10 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函数平移的性质求得 $f ( x ) = - \sin 2 x$ ，再作出 f(x)与 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 的部分大致图像，考虑特殊点处 $f \left( x \right) \mapsto y = { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 2 } }$ 的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为 $y = \cos ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } )$ 向左平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位所得函数为$y = \cos \left[ 2 { \left( x + { \frac { \pi } { 6 } } \right) } + { \frac { \pi } { 6 } } \right] = \cos \left( 2 x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = - \sin 2 x$ ，所以 $f ( x ) = - \sin 2 x$ 而 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 显然过 $\left( 0 , - { \frac { 1 } { 2 } } \right)$ 与(1,0)两点，作出 f(x)与 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 的部分大致图像如下，

考虑 $2 x = - { \frac { 3 \pi } { 2 } } , 2 x = { \frac { 3 \pi } { 2 } } , 2 x = { \frac { 7 \pi } { 2 } }$ ，即 $x = - { \frac { 3 \pi } { 4 } } , x = { \frac { 3 \pi } { 4 } } , x = { \frac { 7 \pi } { 4 } }$ 处f(x)与 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 的大小关系，当 $x = - { \frac { 3 \pi } { 4 } }$ 时， $f \left( - \frac { 3 \pi } { 4 } \right) = - \sin \left( - \frac { 3 \pi } { 2 } \right) = - 1 , y = \frac { 1 } { 2 } \times \left( - \frac { 3 \pi } { 4 } \right) - \frac { 1 } { 2 } = - \frac { 3 \pi + 4 } { 8 } < - 1$ 当 $x = \frac { 3 \pi } { 4 } { \mathbb H } { \mathbb H } , f \left( \frac { 3 \pi } { 4 } \right) = - \sin \frac { 3 \pi } { 2 } = 1 , y = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 3 \pi - 4 } { 8 } < 1$ ；当 $x = \frac { 7 \pi } { 4 } \sharp { \cdot } , f { \left( \frac { 7 \pi } { 4 } \right) } = - \sin \frac { 7 \pi } { 2 } = 1 , y = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 7 \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 7 \pi - 4 } { 8 } > 1 \pi \varphi ( 1 - 2 \pi ) \sin \frac { 7 \pi } { 2 } .$ 所以由图可知，f(x)与 $y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 }$ 的交点个数为3.

故选：C.