【解答】
（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathbf { b } ^ { 2 } } = 1$ $( \mathsf { a } > \mathsf { b } > 0 )$ ）的左、右焦点分别为 $\mathsf { F } _ { 1 } , \mathsf { F } _ { 2 }$ ，离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，两准线之间的距离为8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 $\mathsf { F } _ { 1 }$ 作直线 ${ \mathsf { P F } } _ { 1 }$ 的垂线 $\mathsf { I } _ { 1 }$ ，过点 $\mathsf { F } _ { 2 }$ 作直线 ${ \mathsf { P F } } _ { 2 }$ 的垂线 $\mathsf { I } _ { 2 }$
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线 $\mathsf { I } _ { 1 } , \mathsf { I } _ { 2 }$ 的交点Q在椭圆E 上，求点P的坐标【分析】①由椭圆的离心率公式求得 $\mathtt { a } = 2 0$ ，由椭圆的准线方程 $x = \pm \frac { 2 a ^ { 2 } } { c }$ ，则 2$\times \frac { 2 a ^ { 2 } } { c } = 8$ ，即可求得a 和c的值，则 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 3$ ，即可求得椭圆方程；
> ②设 P 点坐标，分别求得直线 ${ \mathsf { P F } } _ { 2 }$ 的斜率及直线 $\mathsf { P F } _ { 1 }$ 的斜率，则即可求得 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 及 $\mathsf { I } _ { 1 }$ 的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得 $\mathtt { y } _ { 0 } { } ^ { 2 } = \mathtt { x } _ { 0 } { } ^ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } 1$ ，联立即可求得P 点坐标；
**方法二**：设 P（m，n），当 $\mathsf { m } \neq 1$ 时， $\operatorname { k } _ { \mathtt { P F } _ { 2 } } \frac { \mathtt { n } } { \mathtt { m } - 1 } , \quad \mathtt { k } _ { \mathtt { P F } _ { 1 } } = \frac { \mathtt { n } } { \mathtt { m } + 1 }$ ，求得直线 $\mathsf { I } _ { 1 }$ 及 $\mathsf { I } _ { 1 }$ 的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得 $\frac { m ^ { 2 } - 1 } { n } = \pm n ^ { 2 }$ ，联立椭圆方程，即可求得P点坐标
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率 $\mathtt { e { = } \mathtt { \mathtt { C } } = \mathtt { \mathtt { 1 } } } _ { \mathtt { a } }$ ，则 $\mathtt { a } = 2 0$ ，①
椭圆的准线方程 $x = \pm \frac { a ^ { 2 } } { c }$ ，由 $2 \times \frac { a ^ { 2 } } { c } = 8$ ，②
由①②解得： $\sf a = 2 , c = 1$
则 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 3$
$\therefore$ 椭圆的标准方程： $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$
（2）方法 $^ - \cdot \cdot$ ：设 ${ \sf P } \left( \sf x _ { 0 } , \sf y _ { 0 } \right)$ ），则直线 ${ \mathsf { P F } } _ { 2 }$ 的斜率 $\operatorname { k } _ { \mathrm { P F } _ { 2 } } = \frac { \mathbf { y } _ { \mathrm { 0 } } } { \mathbf { x } _ { \mathrm { 0 } } - 1 }$
则直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的斜率 $k _ { 2 } = - \ \frac { \mathbf { x } _ { 0 } - 1 } { \mathbf { y } _ { 0 } }$ ，直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的方程 $\mathsf { y } = - \frac { \mathtt { x _ { 0 } } - 1 } { \mathtt { y _ { \bar { \Pi } } } } \left( \mathtt { x } - 1 \right)$
直线 $\mathsf { P F } _ { 1 }$ 的斜率 $\operatorname { k } _ { \mathtt { P F } _ { 1 } } = \frac { \mathtt { y } _ { \mathtt { 0 } } } { \mathtt { x } _ { \mathtt { 0 } } + 1 } ,$
则直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的斜率 $k _ { 2 } = - \ \frac { \mathbf { x } _ { 0 } + 1 } { \mathbf { y } _ { 0 } }$ ，直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的方程 $\forall \mathbf { \equiv } - \frac { \mathbf { x } _ { \bar { 0 } } + 1 } { \mathbf { \vec { y } } _ { \bar { 0 } } } \left( \mathbf { x } + \mathbf { 1 } \right)$
联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = \frac { \mathrm { ~ x ~ } _ { 0 } - 1 } { \mathrm { ~ y ~ } _ { 0 } } ( \mathrm { ~ x - } 1 ) } \\ { \displaystyle y = \frac { \mathrm { ~ x ~ } _ { 0 } + 1 } { \mathrm { ~ y ~ } _ { 0 } } ( \mathrm { ~ x + } 1 ) } \end{array} \right.$ ，解得： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = - \mathbf { x } _ { 0 } } \\ { \qquad \quad } \\ { \mathbf { y } = { \frac { \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { \mathbf { y } _ { 0 } } } } \end{array} \right.$ ，则 $\mathcal { Q } ~ ( ~ - ~ \mathsf { x } _ { 0 } , ~ \frac { \mathsf { x } _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { \mathsf { y } _ { 0 } } )$
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则 $\mathsf { y } _ { 0 } = \frac { \displaystyle \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } { \mathsf { y } _ { \bar { 0 } } }$
$\therefore y _ { 0 } ^ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } - 1$
则 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { \mathbf { y } _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { \displaystyle \mathbf { y } _ { 0 } ^ { 2 } = \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } \end{array} \right.$ ，解得： $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { 7 } } \\ { \displaystyle y _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 7 } } \end{array} \right.$ ，则 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } _ { 0 } = \pm \frac { 4 \sqrt { 7 } } { 7 } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } _ { 0 } = \pm \frac { 3 \sqrt { 7 } } { 7 } } \end{array} \right. ,$
又P在第一象限，所以P的坐标为：
$\textsf { P } ( \frac { 4 { \sqrt { 7 } } } { 7 } , \frac { 3 { \sqrt { 7 } } } { 7 } )$
**方法二**：设P（m，n），由P在第一象限，则 $\mathsf { m } { > } 0 , \mathsf { n } { > } 0$
当 m=1 时， $\operatorname { k } _ { \mathtt { P F } _ { 2 } }$ 不存在，解得：Q与 $\mathsf { F } _ { 1 }$ 重合，不满足题意，
当 $\mathsf { m } \neq 1$ 时， $\operatorname { k } _ { \mathtt { P F } _ { 2 } } \mathtt { = } \frac { \mathtt { n } } { \mathtt { m } - 1 } , \quad \mathtt { k } _ { \mathtt { P F } _ { 1 } } \mathtt { = } \frac { \mathtt { n } } { \mathtt { m } + 1 }$
由 $\mathsf { I } _ { 1 } \bot \mathsf { P F } _ { 1 } , ~ \mathsf { I } _ { 2 } \bot \mathsf { P F } _ { 2 }$ ，则 $\begin{array} { r } { \mathrm { k _ { 1 } } _ { 1 } = - \frac { \mathrm { m } + 1 } { \mathrm { n } } , \mathrm { k _ { 1 } } _ { 2 } = - \frac { \mathrm { m } - 1 } { \mathrm { n } } } \end{array}$
直线 $\mathsf { I } _ { 1 }$ 的方程 $\mathsf { y } = - \frac { \mathtt { m } + 1 } { \mathtt { n } } \mathbf { \Pi } ( \mathsf { x } ^ { + } 1 )$ ），①直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的方程 $\mathsf { y } = - \frac { \mathtt { m } - 1 } { \mathtt { n } } \ ( \mathsf { x } - 1 )$ ，②
联立解得： $\mathsf { x } = - \mathsf { m }$ ，则 ${ \mathsf { a } } \ ( \ - \ { \mathsf { m } } , \ { \frac { { \mathsf { m } } ^ { 2 } - 1 } { \mathsf { n } } } )$
由Q在椭圆方程，由对称性可得： $\frac { m ^ { 2 } - 1 } { n } = \pm n ^ { 2 }$
即 $\mathsf { m } ^ { 2 } \cdot \mathsf { n } ^ { 2 } { = } 1$ ，或 $m ^ { 2 } + { \mathsf { n } } ^ { 2 } { = } 1$
由 $\textsf { P } \left( \textsf { m } , \textsf { n } \right)$ ），在椭圆方程， $\scriptstyle { \left\{ \frac { \mathtt { m } } { 4 } + \frac { \mathtt { n } ^ { 2 } } { 3 } = 1 \right. }$ ，解得： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathtt { m } ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { 7 } } \\ { \mathtt { n } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 7 } } \end{array} \right.$ ，或 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - \mathtt { m } ^ { 2 } = \mathtt { n } ^ { 2 } } \\ { \displaystyle \frac { \mathtt { m } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \mathtt { n } ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$ ，无
解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P $( { \frac { 4 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } , ~ { \frac { 3 { \sqrt { 7 } } } { 7 } } )$
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题
